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4.2三角形及其全等,中考数学(江苏专用),考点1三角形的有关概念,A组2014-2018年江苏中考题组,五年中考,1.(2017扬州,6,3分)若一个三角形的两边长分别为2和4,则该三角形的周长可能是()A.6B.7C.11D.12,答案C设三角形第三边的长为x,则x的取值范围是2x6,所以三角形的周长c的范围是8c12,故选C.,2.(2016南京,4,2分)下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是()A.3,4,4B.3,4,5C.3,4,6D.3,4,7,答案C由三角形的三边关系知A,B,C能构成三角形,D不能构成三角形.设一个三角形的三边长分别为a,b,c,且ac2,则三角形为锐角三角形;若a2+b2c2,则三角形为钝角三角形.32+4262,长为3,4,6的三条线段可组成钝角三角形,故选C.,3.(2018泰州,12,3分)已知三角形两边的长分别为1、5,第三边长为整数,则第三边的长为.,答案5,解析设第三边的长为x,根据三角形的三边关系,得4x6,又第三边的长为整数,所以第三边的长是5.,疑难突破本题考查三角形的三边关系,根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,求得第三边长的取值范围,再进一步根据第三边长是整数求解.,4.(2018泰州,14,3分)如图,四边形ABCD中,AC平分BAD,ACD=ABC=90,E、F分别为AC、CD的中点,D=,则BEF的度数为(用含的式子表示).,答案270-3,解析ACD=90,D=,DAC=90-,AC平分BAD,DAC=BAC=90-,ABC=90,E是AC的中点,BE=AE=EC,EAB=EBA=90-,CEB=180-2,E、F分别为AC、CD的中点,EFAD,CEF=CAD=90-,BEF=180-2+90-=270-3,故答案为270-3.,思路分析根据直角三角形的性质得到DAC=90-,根据角平分线的定义、三角形的外角的性质得到CEB=180-2,根据三角形中位线定理、平行线的性质得到CEF=CAD=90-,再根据FEB=FEC+CEB求解.,解题关键本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、角平分线的定义,掌握三角形的中位线平行于第三边,是解题的关键.,5.(2017盐城,12,3分)在“三角尺拼角”实验中,小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置,则1=.,答案120,解析由三角形的外角的性质可知,1=90+30=120.,解题关键本题考查的是三角形的外角的性质,掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.,6.(2016南京,21,8分)用两种方法证明“三角形的外角和等于360”.如图,BAE、CBF、ACD是ABC的三个外角.求证:BAE+CBF+ACD=360.证法1:,BAE+1+CBF+2+ACD+3=1803=540.BAE+CBF+ACD=540-(1+2+3).,BAE+CBF+ACD=540-180=360.请把证法1补充完整,并用不同的方法完成证法2.,解析BAE+1=CBF+2=ACD+3=180;1+2+3=180.证法2:如图,过点A作射线AP,使APBD.APBD,CBF=PAB,ACD=EAP.BAE+PAB+EAP=360,BAE+CBF+ACD=360.,考点2全等三角形的性质与判定,1.(2018南京,5,2分)如图,ABCD,且AB=CD,E、F是AD上两点,CEAD,BFAD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为()A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c,答案DABCD,CEAD,BFAD,AFB=CED=90,A+D=90,C+D=90,A=C,又AB=CD,ABFCDE,AF=CE=a,BF=DE=b.EF=c,AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c,故选D.,思路分析证明ABFCDE,得出AF=CE=a,BF=DE=b,从而推出AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c.,解后反思本题考查全等三角形的判定和性质,解题的关键是正确寻找全等三角形,属于中考常考题型.,2.(2016南京,14,2分)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,ABOADO.下列结论:ACBD;CB=CD;ABCADC;DA=DC.其中所有正确结论的序号是.,答案,解析ABOADO,BAC=DAC,AOB=AOD,AB=AD.AOB+AOD=180,AOB=90,ACBD,正确;AB=AD,BAC=DAC,AC=AC,ABCADC,正确;ABCADC,CB=CD,正确;DA与DC不一定相等,不正确.,3.(2017苏州,24,8分)如图,A=B,AE=BE,点D在AC边上,1=2,AE和BD相交于点O.(1)求证:AECBED;(2)若1=42,求BDE的度数.,解析(1)证明:AE和BD相交于点O,AOD=BOE.又A=B,BEO=2.又1=2,1=BEO,AEC=BED.在AEC和BED中,AECBED(ASA).(2)AECBED,EC=ED,C=BDE.在EDC中,EC=ED,1=42,C=EDC=69,BDE=C=69.,4.(2018苏州,21,6分)如图,点A,F,C,D在一条直线上,ABDE,AB=DE,AF=DC.求证:BCEF.,证明ABDE,A=D,AF=DC,AC=DF.在ABC和DEF中,ABCDEF(SAS),ACB=DFE,BCEF.,5.(2016镇江,22,6分)如图,AD、BC相交于点O,AD=BC,C=D=90.(1)求证:ACBBDA;(2)若ABC=35,则CAO=.,解析(1)证明:C=D=90,ACB与BDA是直角三角形.(1分)在RtACB与RtBDA中,(3分)RtACBRtBDA.(4分)(用勾股定理和“SSS”证明相应给分)(2)20.(6分),6.(2014苏州,23,6分)如图,在RtABC中,ACB=90,点D,F分别在AB,AC上,CF=CB.连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90后得CE,连接EF.(1)求证:BCDFCE;(2)若EFCD,求BDC的度数.,解析(1)证明:将CD绕点C按顺时针方向旋转90后得CE,CD=CE,DCE=90.ACB=90,BCD=90-ACD=FCE.在BCD和FCE中,BCDFCE.(2)由BCDFCE得BDC=E.EFCD,E=180-DCE=90.BDC=90.,解题关键本题考查全等三角形的判定及性质,平行线的性质,属容易题.注意旋转图形的性质而证得三角形全等是解决本题的关键.,B组20142018年全国中考题组,考点1三角形的有关概念,1.(2016安徽,10,4分)如图,RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4.P是ABC内部的一个动点,且满足PAB=PBC.则线段CP长的最小值为()A.B.2C.D.,答案BPAB=PBC,PBC+ABP=90,PAB+ABP=90,P=90.设AB的中点为O,则P在以AB为直径的圆上.当点O,P,C三点共线时,线段CP最短,OB=AB=3,BC=4,OC=5,又OP=AB=3,线段CP长的最小值为5-3=2,故选B.,2.(2015辽宁沈阳,4,3分)如图,在ABC中,点D是边AB上一点,点E是边AC上一点,且DEBC,B=40,AED=60,则A的度数是()A.100B.90C.80D.70,答案CDEBC,AED=C.又AED=60,C=60.在ABC中,A+B+C=180,B=40,C=60,A=180-B-C=180-40-60=80.故选C.,3.(2015四川绵阳,5,3分)如图,在ABC中,B、C的平分线BE、CD相交于点F,ABC=42,A=60,则BFC=()A.118B.119C.120D.121,答案C在ABC中,ACB=180-A-ABC=180-60-42=78.BE、CD分别平分ABC、ACB,FBC=ABC=21,FCB=ACB=39,BFC=180-FBC-FCB=180-21-39=120.故选C.,评析本题主要考查三角形内角和定理,角平分线的概念,属容易题.,4.(2015贵州遵义,11,3分)如图,四边形ABCD中,C=50,B=D=90,E、F分别是BC、DC上的点,当AEF的周长最小时,EAF的度数为()A.50B.60C.70D.80,评析本题考查了轴对称、四边形内角和、三角形内角和等知识,属中档题.,5.(2018湖北武汉,16,3分)如图,在ABC中,ACB=60,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一点.若DE平分ABC的周长,则DE的长是.,答案,解析延长BC至点F,使CF=AC,连接AF,D是AB的中点,AD=DB.DE平分ABC的周长,AC+CE+AD=DB+BE,AC+CE=BE,BE=CF+CE=EF,DE是ABF的中位线,DEAF,ACB=60,ACF=120,又AC=CF=1,FAC=AFC=30,作CHAF,则AH=AC,所以AF=AC=,DE=AF=.,思路分析延长BC至点F,使CF=AC,利用已知条件证明DE为ABF的中位线,由已知条件求得AF的长,从而求得DE的长.,解题技巧对于求线段长度的问题,若条件涉及三角形边的中点,可以考虑运用中位线性质来解答.,考点2全等三角形的性质与判定,1.(2016浙江金华,6,3分)如图,已知ABC=BAD,添加下列条件还不能判定ABCBAD的是()A.AC=BDB.CAB=DBAC.C=DD.BC=AD,答案A已知ABC=BAD,由题图知AB为ABC与BAD的公共边,对于A项,由边边角不能判定ABCBAD;对于B项,利用角边角能判定ABCBAD;对于C项,利用角角边能判定ABCBAD;对于D项,利用边角边能判定ABCBAD.故选A.,2.(2015浙江绍兴,7,4分)如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得ABCADC,这样就有QAE=PAE.则说明这两个三角形全等的依据是()A.SASB.ASAC.AASD.SSS,答案D因为在ABC和ADC中,AB=AD,BC=CD,AC=AC,所以ABCADC(SSS),故选D.,3.(2015江西南昌,9,3分)如图,OP平分MON,PEOM于E,PFON于F,OA=OB,则图中有对全等三角形.,答案3,解析根据题图的特征以及角平分线的性质可以得到AOPBOP,EOPFOP,AEPBFP,所以题图中有3对全等三角形.,4.(2018云南,16,6分)如图,已知AC平分BAD,AB=AD.求证:ABCADC.,证明AC平分BAD,BAC=DAC.(2分)在ABC和ADC中,ABCADC(SAS).(6分),5.(2018云南,23,12分)如图,在平行四边形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC边上的点,AF=AD+FC.平行四边形ABCD的面积为S,由A、E、F三点确定的圆的周长为l.(1)若ABE的面积为30,直接写出S的值;(2)求证:AE平分DAF;(3)若AE=BE,AB=4,AD=5,求l的值.,解析(1)60.(3分)(2)证明:延长AE,与BC的延长线交于点H.四边形ABCD是平行四边形,ADBC.ADE=HCE,DAE=CHE.(4分)点E为CD的中点,ED=EC.ADEHCE.AD=HC,AE=HE.AD+FC=HC+FC.由AF=AD+FC和FH=HC+FC得AF=FH.FAE=CHE.(6分)又DAE=CHE,DAE=FAE,AE平分DAF.(7分),(3)连接EF.AE=BE,AE=HE,AE=BE=HE.BAE=ABE,HBE=BHE.由(1)知DAE=CHE,BAE+DAE=ABE+HBE,即DAB=CBA.由四边形ABCD是平行四边形得DAB+CBA=180,CBA=90,(9分)AF2=AB2+BF2=16+(5-FC)2=(FC+CH)2=(FC+5)2,解得FC=.AF=FC+CH=+5=.AE=HE,AF=FH,FEAH.AF是AEF的外接圆的直径.AEF的外接圆的周长l=.(12分),思路分析(1)由SABE=S平行四边形ABCD可得.(2)延长AE、BC交于H,证ADEHCE,结合AF=AD+FC得AF=FH,从而得AE平分DAF.(3)先证CBA=90,再利用勾股定理求得FC,AF的长,最后确定AF为AEF外接圆的直径,进而求解.,解后反思利用“倍长中线”构造全等三角形是我们常用的方法,而求圆的周长需求其半径或直径,利用直角三角形的斜边为其外接圆直径即可求解.,6.(2017吉林,18,5分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C.求证:A=D.,证明BE=CF,BE+EF=CF+EF.BF=CE.(2分)又B=C,AB=DC,ABFDCE.(4分)A=D.(5分),7.(2016河北,21,9分)如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC.(1)求证:ABCDEF;(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.,解析(1)证明:BF=EC,BF+FC=EC+CF,即BC=EF.(3分)又AB=DE,AC=DF,ABCDEF.(5分)(2)ABDE,ACDF.(7分)理由:ABCDEF,ABC=DEF,ACB=DFE.ABDE,ACDF.(9分),思路分析本题考查全等三角形的判定与性质,根据条件用“SSS”判定三角形全等,再由全等三角形的性质得到对应角相等,然后由角相等得到边之间的位置关系.,8.(2016四川南充,19,8分)已知ABN和ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,1=2.(1)求证:BD=CE;(2)求证:M=N.,证明(1)在ABD和ACE中,ABDACE(SAS).(3分)BD=CE.(4分)(2)ABDACE,ADB=AEC.(5分)又MDO=ADB,NEO=AEC,MDO=NEO.(6分)MOD=NOE,180-MDO-MOD=180-NEO-NOE,即M=N.(8分),评析本题考查了全等三角形的判定与性质,要根据题意选择合适的判定方法.,C组教师专用题组,考点1三角形的有关概念(2015河北,15,2分)如图,点A,B为定点,定直线lAB,P是l上一动点,点M,N分别为PA,PB的中点,对于下列各值:,线段MN的长;PAB的周长;PMN的面积;直线MN,AB之间的距离;APB的大小.其中会随点P的移动而变化的是()A.B.C.D.,答案B点M,N分别为PA,PB的中点,无论点P怎样移动,总有MN=AB,直线l与直线MN的距离及直线MN,AB之间的距离不变,所以中的值不变.随着点P的移动,点P与点A,B的距离及APB的大小发生变化,故选B.,考点2全等三角形的性质与判定,1.(2018四川成都,6,3分)如图,已知ABC=DCB,添加以下条件,不能判定ABCDCB的是()A.A=DB.ACB=DBCC.AC=DBD.AB=DC,答案C根据题中已有条件,分别添加A=D,ACB=DBC,AB=DC,符合判定三角形全等的AAS,ASA,SAS定理,能推出ABCDCB,故选项A,B,D不符合题意;添加AC=BD,不符合全等三角形的判定定理,不能推出ABCDCB,选项C符合题意.故选C.,2.(2016陕西,8,3分)如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点.若M、N是边AD上的两点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点M、N,则的全等三角形共有()A.2对B.3对C.4对D.5对,答案C易知ABDCBD,MONMON,DONBON,DOMBOM,故选C.,3.(2014山西,16,3分)如图,在ABC中,BAC=30,AB=AC,AD是BC边上的中线,ACE=BAC,CE交AB于点E,交AD于点F,若BC=2,则EF的长为.,答案-1,解析在DF上取点G,使DG=DC,连接CG.AB=AC,AD为BC边上的中线,ADBC,CAD=BAD=BAC=15,CDG为等腰直角三角形,DCG=45.ACE=BAC,ACE=CAD,AF=CF.ACE=BAC=15,DCG=45,ACB=75,FCG=75-15-45=15,BAD=FCG.又AFE=CFG,AF=CF,AFECFG(ASA),EF=FG.AB=AC,AD为BC边上的中线,CD=BC=1.DCF=75-15=60,DF=DC=.又DG=DC=1,EF=FG=DF-DG=-1.,4.(2018云南昆明,15,6分)如图,在ABC和ADE中,AB=AD,B=D,1=2.求证:BC=DE.,证明1=2,1+DAC=2+DAC,即BAC=DAE,(1分)在ABC和ADE中,(3分)ABCADE(ASA),(5分)BC=DE.(6分)(其他证法参照此标准给分),5.(2015重庆,20,7分)如图,在ABD和FEC中,点B,C,D,E在同一直线上,且AB=FE,BC=DE,B=E.求证:ADB=FCE.,证明BC=DE,BC+CD=DE+CD,即DB=CE.(3分)又AB=FE,B=E,ABDFEC.(6分)ADB=FCE.(7分),6.(2015浙江温州,18,8分)如图,点C,E,F,B在同一直线上,点A,D在BC异侧,ABCD,AE=DF,A=D.(1)求证:AB=CD;(2)若AB=CF,B=30,求D的度数.,解析(1)证明:ABCD,B=C.AE=DF,A=D,ABEDCF,AB=CD.(2)AB=CF,AB=CD,CD=CF,D=CFD.B=C=30,D=75.,7.(2015陕西,19,7分)如图,在ABC中,AB=AC.作ADAB交BC的延长线于点D,作AEBD、CEAC,且AE、CE相交于点E.求证:AD=CE.,证明AEBD,EAC=ACB.AB=AC,B=ACB.EAC=B.(4分)又BAD=ACE=90,ABDCAE.(6分)AD=CE.(7分),8.(2015浙江杭州,18,8分)如图,在ABC中,已知AB=AC,AD平分BAC,点M,N分别在AB,AC边上,AM=2MB,AN=2NC.求证:DM=DN.,证明因为AM=2MB,所以AM=AB,同理,AN=AC,又因为AB=AC,所以AM=AN.因为AD平分BAC,所以MAD=NAD.在AMD和AND中,所以AMDAND,所以DM=DN.,9.(2014重庆,24,10分)如图,ABC中,BAC=90,AB=AC,ADBC,垂足是D,AE平分BAD,交BC于点E.在ABC外有一点F,使FAAE,FCBC.(1)求证:BE=CF;(2)在AB上取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME.求证:MEBC;DE=DN.,证明如图.(1)BAC=90,AFAE,1+EAC=90,2+EAC=90,1=2.(1分)又AB=AC,B=ACB=45.FCBC,FCA=90-ACB=90-45=45,B=FCA,(2分)ABEACF(ASA).(3分),解题关键本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,角平分线的性质,构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键.,10.(2014无锡,21,6分)已知:ABC中,AB=AC,M是BC的中点,D、E分别是AB、AC边上的点,且BD=CE,求证:MD=ME.,证明AB=AC,B=C,M是BC的中点,BM=CM.在BDM和CEM中,BDMCEM,MD=ME.,11.(2014南京,27,11分)【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为:在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E.然后,对B进行分类,可分为“B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.【深入探究】第一种情况:当B是直角时,ABCDEF.(1)如图,在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E=90,根据,可以知道RtABCRtDEF.,第二种情况:当B是钝角时,ABCDEF.(2)如图,在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是钝角.求证:ABCDEF.,第三种情况:当B是锐角时,ABC和DEF不一定全等.(3)在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是锐角,请你用尺规在图中作出DEF,使DEF和ABC不全等.(不写作法,保留作图痕迹)(4)B还要满足什么条件,就可以使ABCDEF?请直接填写结论:在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是锐角,若,则ABCDEF.,解析(1)HL.(2)证明:如图,分别过点C、F作对边AB、DE上的高CG、FH,其中G、H为垂足.ABC、DEF都是钝角,G、H分别在AB、DE的延长线上.CGAG,FHDH,CGA=FHD=90.CBG=180-ABC,FEH=180-DEF,ABC=DEF,CBG=FEH.在BCG和EFH中,CGB=FHE,CBG=FEH,BC=EF,BCGEFH.CG=FH.又AC=DF,RtACGRtDFH.A=D.在ABC和DEF中,ABC=DEF,A=D,AC=DF,ABCDEF.图,A组20162018年模拟基础题组,三年模拟,考点1三角形的有关概念,1.(2016苏州昆山一模)如图,在等边ABC中,点D,E分别在边BC,AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F.(1)求证:AD=CE;(2)求DFC的度数.,解析(1)证明:ABC是等边三角形,BAC=B=60,AC=AB.在AEC和BDA中,AECBDA(SAS).AD=CE.(2)AECBDA,ACE=BAD,DFC=FAC+ACF=FAC+BAD=BAC=60.,2.(2016南通一模)如图,ABCD,AB=BC,A=1,求证:BE=CD.,证明ABCD,ABC=C.在ABE和BCD中,ABEBCD(ASA),BE=CD.,考点2全等三角形的性质与判定,1.(2018扬州江都一模,5)如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图,则说明AOB=AOB的依据是()A.SASB.SSSC.AASD.ASA,答案B由作法易得OD=OD,OC=OC,CD=CD,依据SSS可判定CODCOD,故AOB=AOB,故选B.,考查要点本题主要考查了全等三角形的判定,关键是掌握全等三角形的判定定理.,解题关键本题考查了全等三角形的判定方法.三角形全等的判定是中考的热点,本题由平行线证出角相等是证明三角形全等的关键.,3.(2017无锡一模,16)如图,在ABC和BAD中,BC=AD,请你再补充一个条件(不添加辅助线),使ABCBAD.你补充的条件是(只填一个).,答案AC=BD(或CBA=DAB)(只填一个即可),解析欲证两三角形全等,已有条件:BC=AD,AB=BA,所以补充两边夹角CBA=DAB便可以根据SAS证明;补充AC=BD便可以根据SSS证明.故补充的条件是AC=BD(或CBA=DAB).,4.(2018无锡江阴一模,21)如图,已知等边ABC,点D为BC延长线上一点,点E为CA延长线上一点,且AE=DC.求证:AD=BE.,证明在等边ABC中,AB=CA,BAC=ACB=60,EAB=DCA=120.在EAB和DCA中,EABDCA,BE=AD.,易错警示本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质.解题时注意两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.,5.(2018南通如皋一模,22)如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,中线BD和CE相交于点F.求证:(1)ABD=ACE;(2)过点A,F的直线垂直平分线段BC.,证明(1)AB=AC,BD,CE分别是两腰上的中线,AE=AD.在ADB与AEC中,ADBAEC.ABD=ACE.(2)AB=AC,ABC=ACB.由(1)可知ABD=ACE,DBC=ECB.FB=FC,点F在线段BC的垂直平分线上.又AB=AC,点A在线段BC的垂直平分线上.过点A,F的直线垂直平分线段BC.,考查要点本题考查了全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的判定.,6.(2016苏州张家港一模)如图,C是线段AB的中点,CD平分ACE,CE平分BCD,CD=CE.(1)求证:ACDBCE;(2)若D=50,求B的度数.,B组20162018年模拟提升题组(时间:20分钟分值:35分),一、填空题(共3分),1.(2016淮安一模)已知:如图,ABC中,BO,CO分别是ABC和ACB的平分线,过点O的直线分别交AB、AC于点D、E,且DEBC.若AB=6cm,AC=8cm,则ADE的周长为.,答案14cm,解析DEBC,DOB=OBC,又BO是ABC的平分线,DBO=OBC,DBO=DOB.BD=OD.DEBC,EOC=OCB,又CO是ACB的平分线,ECO=OCB,EOC=ECO,OE=CE,ADE的周长=AD+OD+OE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=14cm.,二、解答题(共32分),2.(2018苏州常熟一模,24)如图,在ABCD中,点E是边BC的中点,连接AE并延长,交DC的延长线于点F.连接AC,BF.(1)求证:ABEFCE;(2)当四边形ABFC是矩形时,若AEC=80,求D的度数.,解析(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,点F在DC的延长线上,ABCF,ABE=FCB.点E是边BC的中点,BE=CE.在ABE和FCE中,ABEFCE.(2)四边形ABFC是矩形,AF=BC,AE=AF,BE=BC,AE=BE,ABE=BAE.AEC=80,ABE=BAE=40.四边形ABCD是平行四边形,D=ABE=40.,解题关键本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定.熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.,3.(2018无锡宜兴一模,21)如图,已知在ABC中,AB=AC,M是BC的中点,D,E分别是AB,AC边上的点,且BD=CE.求证:MD=ME.,证明在ABC中,AB=AC,DBM=ECM.M是BC的中点,BM=CM.在BDM和CEM中,BDMCEM(SAS),MD=ME.,考查要点本题考查了全等三角形的判定,以及全等三角形对应边相等的性质.,4.(2018盐城一模,22)如图,已知在四边形ABCD中,点E在AD上,BCE=ACD=90,BAC=D,BC=CE.(1)求证:AC=CD;(2)若AC=AE,求DEC的度数.,解析(1)证明:如图,BCE=ACD=90,3+4=4+5=90,3=5.在ABC和DEC中,ABCDEC(AAS),AC=CD.,(2)ACD=90,AC=CD,2=D=45.AE=AC,4=6=67.5,DEC=180-6=112.5.,思路分析本题主要考查全等三角形的判定,掌握全等三角形的判定方法是解题的关键,即SSS,SAS,ASA,AAS和HL.,5.(2017盐城盐都一模)如图,以ABC的边AB、AC为边分别向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE,连接CD、BE、DE.(1)证明:ADCABE;(2)试判断ABC与ADE面积之间的关系,并说明理由.,解析(1)证明:ABD和ACE都为等腰直角三角形,AD=AB,AE=AC,DAB=EAC=90,DAB+BAC=EAC+BAC,即DAC=BAE,在DAC和BAE中,DACBAE(SAS).(2)ABC与ADE的面积相等.证明:过C作CMAB,过E作ENAD交DA的延长线于N.ABD和ACE都是等腰直角三角形,BAD=CAE=90,AB=AD,AC=AE,BAD+CAE+BAC+DAE=360,BAC+DAE=180,DAE+EAN=180,BAC=EAN.在ACM和AEN中,ACMAEN(AAS),CM=EN,又SABC=ABCM,SADE=ADEN,SABC=SADE.,
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