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非线性规划,最优性条件（Kuhn-Tucker条件）,数学规划,向量化表示,非线性规划方法概述,问题minf(x)s.t.g(x)0h(x)=0约束集S=x|g(x)0,h(x)=0一、等式约束问题的最优性条件：考虑minf(x)s.t.h(x)=0回顾高等数学中所学的条件极值：问题求z=f(x,y)极值minf(x,y)在(x,y)=0的条件下。S.t.(x,y)=0引入Lagrange乘子：Lagrange函数L(x,y;)=f(x,y)+(x,y),一、等式约束性问题的最优性条件：(续)若(x*,y*)是条件极值，则存在*，使fx(x*,y*)+*x(x*,y*)=0fy(x*,y*)+*y(x*,y*)=0(x*,y*)=0推广到多元情况，可得到对于(fh)的情况：minf(x)s.t.hj(x)=0j=1,2,l若x*是(fh)的l.opt.,则存在*Rl使矩阵形式：,一、等式约束性问题的最优性条件：(续)几何意义是明显的：考虑一个约束的情况：最优性条件即：,二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件：考虑问题minf(x)s.t.gi(x)0i=1,2,m设x*S=x|gi(x)0i=1,2,m令I=i|gi(x*)=0i=1,2,m称I为x*点处的起作用集（紧约束集）。如果x*是l.opt.,对每一个约束函数来说，只有当它是起作用约束时，才产生影响，如：,g2(x)=0,二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件：（续）特别有如下特征：如图在x*：f(x*)+u*g(x*)=0u*0要使函数值下降，必须使g(x)值变大，则在点使f(x)下降的方向（-f()方向）指向约束集合内部，因此不是l.opt.。,g(),-f(),X*,-f(x*),g(x*),二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件：（续）定理（最优性必要条件）：（K-T条件）问题(fg),设S=x|gi(x)0,x*S,I为x*点处的起作用集，设f,gi(x),iI在x*点可微，gi(x),iI在x*点连续。向量组gi(x*),iI线性无关。如果x*-l.opt.那么，u*i0,iI使,二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件：（续）,二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件：（续）用K-T条件求解：,二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件：（续）,二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件：（续）可能的K-T点出现在下列情况：两约束曲线的交点：g1与g2,g1与g3,g1与g4,g2与g3,g2与g4,g3与g4。目标函数与一条曲线相交的情况：g1，g2,g3,g4对每一个情况求得满足(1)(6)的点(x1,x2)T及乘子u1,u2,u3,u4,验证当满足可得，且ui0时，即为一个K-T点。下面举几个情况：g1与g2交点：x=(2,1)TS,I=1,2则u3=u4=0解,二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件：（续）,二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件：（续）,三、一般约束问题的Kuhn-Tucker条件,三、一般约束问题的Kuhn-Tucker条件(续),
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