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CH1复数及复变函数,1、复数及其代数运算,2、复数的表示方法,3、复数的乘幂与方根,4、区域,5、复变函数,6、复变函数的极限与连续性,1.复数的概念,1复数及其代数运算,3.共轭复数,2.代数运算,一般任意两个复数不能比较大小.,1.复数的概念,判断复数相等,定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：z1z2=(x1x2)+i(y1y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2),2.代数运算,四则运算定义,z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.,运算规律,复数的运算满足交换律、结合律、分配律.（与实数相同）即：,共轭复数的性质,3.共轭运算,定义若z=x+iy,称z=x-iy为z的共轭复数.,(conjugate),例1,例2,1.代数形式,2复数的表示方法3复数的乘幂与方根,4.指数形式,3.三角形式,2.几何形式,1.代数形式（点表示）,数z与点z同义.,2.几何形式（向量表示）,称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴为始边,以为终边的角的弧度数称为复数z=x+iy的辐角.(z0时),辐角无穷多：Argz=0+2k，kZ，,把其中满足的0称为辐角Argz的主值，记作0=argz.,z=0时，辐角不确定（不定义）,当z落于一,四象限时，不变.,当z落于第二象限时，加.,当z落于第三象限时，减.,由向量表示法知,3.三角形式,乘积与商,设z1=r1(cos1+isin1)，z2=r2(cos2+isin2)则z1z2=r1r2(cos1+isin1)(cos2+isin2)=r1r2cos(1+2)+isin(1+2),因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,几何意义：将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍.,定理1可推广到n个复数的乘积.,设z=r(cosn+isinn)，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明zn=rn(cosn+isinn).,复数的乘幂,定义,问题给定复数z，求所有的满足n=z的复数.,复数的方根（开方）乘方的逆运算,当k=0，1，n-1时，可得n个不同的根，而k取其它整数时，这些根又会重复出现.,几何上，的n个值是以原点为中心，为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点.,4.指数表示法,模,一个辐角,注意：复数的各种表示法可以相互转化,以适应不同问题的需要.,例1,例2,例3,例4,此外引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形.,例5用复数方程表示:（1）过两点zj=xj+iyj(j=1,2)的直线；（2）中心在点(0,-1),半径为2的圆.,解（1）z=z1+t(z2-z1)（-t0为半径的圆|z-z0|(或0|zz0|)内部的点的集合称为点z0的（去心）邻域.记为(z0,)即，,说明,设G是一平面上点集,连通是指,D-区域,2.简单曲线（或Jardan曲线),令z(t)=x(t)+iy(t)atb;则曲线方程可记为：z=z(t)，atb,简单闭曲线的性质,3.单连通域与多连通域,多连通域,单连通域,例如|z|0）是单连通的；0r|z|R是多连通的.,5复变函数,3.反函数或逆映射,2.映射的概念,1.复变函数的定义,1.复变函数的定义与实变函数定义相类似,定义,例1,例2,2.映射的概念,复变函数的几何意义,定义域,函数值集合,在几何上，w=f(z)可以看作：,以下不再区分函数与映射（变换）.,在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量u，v与x，y之间的对应关系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观.,复变函数的几何意义是一个映射（变换）,图1-1,图1-2,图2,例3,3.反函数或逆映射,例设z=w2则称为z=w2的反函数或逆映射,为多值函数,2支.,定义设w=f(z)的定义集合为G,函数值集合为G*,例5,例4已知映射w=z3，求区域0argz在平面w上的象.,6复变函数的极限与连续性,1.函数的极限,3.函数的连续性,2.运算性质,1.函数的极限,几何意义:当变点z一旦进入z0的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的邻域中,(1)意义中的方式是任意的.与一元实变函数相比较要求更高.,(2)A是复数.,(3)若f(z)在处有极限,其极限是唯一的.,2.运算性质,复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：,定理1,例1,例2,例3,3.函数的连续性,定义,定理3,例4证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续.,证明,定理4连续函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为连续函数;连续函数的复合函数仍为连续函数.,有界性：,本章作业,1.（3）；4.（4）；8.（4），（5）；14.（2），（4）；16.；21.（4），（6），（8），（10）；22.（6），（7），（10）；26.（4）；31.或32.,复球面与扩充复平面,南极、北极的定义,(1)复球面,球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.,球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为复球面.,复球面的定义,我们规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作，因而球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示.,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.,不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.,(2)扩充复平面的定义,对于复数来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.,
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