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Polymath软件的应用,2013年,Polymath软件简介,科学与工程中数学问题的数值求解工具,主要功能线性方程组（LEQ）非线性方程组（NLE）微分方程组（ODE）数据拟合（REG）,输出形式：报告、图形和表格,Polymath软件简介,辅助功能高级计算器单位换算常用物理化学常数查询结果输出到Excel和Matlab软件,Polymath软件界面,线性方程组,非线性方程组,微分方程组,数据拟合,Polymath软件使用方法,输入需要求解的方程,输入其中参数的计算方法及参数值,输入自变量的初始值、终值和计算步长或者函数值的初始猜值,在工具栏中选定求解方法、输出格式（图形或表格）,运行程序，获得计算结果,应用举例,线性方程组求解,输入窗口,运行结果,方程数,运行按钮,给定一组数据（xi,yi）,i=1,2,m，做拟合直线p(x)=a+bx,均方误差为：,（1）,Q(a,b)的极小值需满足：,线性方程组求解,整理得到拟合曲线满足的方程：,或,(2),称式(2)为拟合曲线的法方程。,线性方程组求解,可用消元法或克莱姆方法解出方程：,线性方程组求解,下表为实验测得的某一物性和温度之间的关系数据，表中x为温度数据，y为物性数据。请用线性函数拟合温度和物性之间的关系。,练习一,解：设拟合直线，并计算得下表：,将数据代入法方程组（1-12）中，得到：,解方程得：a=8.2084,b=0.1795。拟合直线为：,线性方程组求解,线性方程组求解,应用举例,非线性方程组求解,输入方程,输入初值,运行结果,练习二,用PLOYMATH求解下列非线性方程组：,农场主的财产有500只兔子（x）和200只狐狸（y）。用POLYMATH画一条最多到500d的期间内作为时间函数的狐狸和兔子浓度的曲线。,微分方程组求解,微分方程组求解,练习二,微分方程组求解,原程序,运行报告,图形输出,表格输出,问题的提出,化工设计及化工模拟计算中，有大量的物性参数及各种设备参数。实验测量得到的常常是一组离散数据序列（xi,yi）图1-1所示为“噪声”图1-2所示为无法同时满足某特定的函数,图1-1含有噪声的数据,图1-2无法同时满足某特定函数的数据序列,数据拟合与分析,问题的提出,在化学化工中，许多模型也要利用数据拟合技术，求出最佳的模型和模型参数。如在某一反应工程实验中，我们测得了如下表所示的实验数据：,问题的提出,确定在其他条件不变的情况下，转化率y和温度T的具体关系，现拟用两种模型去拟合实验数据，两种模型分别是：,(1-2),(1-3),拟合的标准,向量Q与Y之间的误差或距离有以下几种定义方法：（1）用各点误差绝对值的和表示（2）用各点误差按绝对值的最大值表示（3）用各点误差的平方和表示(均方误差),(1-4),(1-5),(1-6),拟合的标准,由于计算均方误差的最小值的原则容易实现而被广泛采用。按均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。,拟合的标准实例,实验测得二甲醇（DME）的饱和蒸汽压和温度的关系如下表：,表1-2DME饱和蒸气压和温度的关系,由表1-2的数据观测可得，DME的饱和蒸汽压和温度有正相关关系。,拟合的标准实例,如果以直线拟合p=a+bt,即拟合函数是一条直线。通过计算均方误差Q(a,b)最小值而确定直线方程（见图1-3）,图1-3DME饱和蒸汽压和温度之间的线性拟合,拟合得到得直线方程为：,方差为0.0050081。,(1-8),(1-7),拟合的标准实例,如果采用二次拟合，通过计算下述均方误差：,拟合得二次方程为：,（1-9）,（1-10）,方差为0.00006644。具体拟合曲线见图1-4,图1-4DME饱和蒸汽压和温度之间的二次拟合,拟合的标准实例,比较图1-3和图1-4以及各自的相关系数和方差可知：对于DME饱和蒸汽压和温度之间的关系，在实验温度范围内用二次拟合曲线优于线性拟合。二次拟合曲线具有局限性，由图1-4观察可知，当温度低于-30时，饱和压力有升高的趋势，但在拟合的温度范围内，二次拟合的平均绝对偏差又小于一次拟合，故对物性数据进行拟合时，不仅要看在拟合条件下的拟合效果，还必须根据物性的具体性质，判断在拟合条件之外的物性变化趋势，以便使拟合公式在已做实验点数据之外应用。,数据拟合与分析,数据拟合与分析,数据拟合与分析,数据拟合与分析,原始数据,拟合方程,运行结果,
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