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驶向成功的彼岸,19.4.3角平分线,不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？,再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？,（对折）,情境问题,探究角平分线的性质,(1)实验：将AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？,(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,证明：OC平分AOB（已知）1=2（角平分线的定义）PDOA，PEOBPDO=PEO=900在PDO和PEO中,PDO=PEO（已证）1=2（已证）OP=OP（公共边）PDOPEO（A.A.S.）PD=PE（全等三角形的对应边相等）,已知：如图，OC平分AOB，点P在OC上，PDOA于点D，PEOB于点E求证:PD=PE,(3)验证猜想,此性质的推理过程:数学符号,1=2,PDOA，PEOB（已知）PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）,(4)得到角平分线的性质：,角平分线上的点到角两边的距离相等。,1、1=2,DCAC,DEAB_(_),DC=DE,角平分线上的点到角的两边的距离相等,2、判断题（）如图，AD平分BAC（已知）,BD=DC，(),角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,课时训练,如图，在RtABC中，,角平分线的性质，为我们证明两条线段相等又提供了新的方法与途径。,A,B,C,BD是角平分线，,DEAB，垂足为E，,E,DE与DC相等吗？,答：,DE=DC。,BD是ABC的平分线,且DEBA，,DE=DC。,为什么？,DCBC，,已知：如图,PDOA，PEOB，点D、E为垂足，PDPE求证：点P在AOB的平分线上,证明：PDOA，PEOB，,在RtPDO与RtPEO中,PDO=PEO=900,PD=PE（已知）,OP=OP（公共边）,RtPDORtPDO(H.L.),1=2即点P在AOB的平分线上,角平分线上的点到这个角两边的距离相等。,逆命题,到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.,命题:三角形三个角的平分线相交于一点.,如图,设ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D.,BM是ABC的角平分线,点P在BM上,ABC的三条角平分线相交于一点P.,基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学习的内容.,PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,同理,PE=PF.,PD=PF.,点P在BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).,练习1如图，在直线l上找出一点P，使得点P到AOB的两边OA、OB的距离相等,提示：作AOB的平分线，交直线l于P就是所求的点,练习2.如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F，求证：点F在DAE的平分线上,G,H,P,证明：作FGAE于G.FHAD于HFPCB于P,作射线OFCF平分ECBFG=FP(角平分线上的点到角两边距离相等)同理可证:FH=FPFG=FH点F在EOD的平分线上(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上),感悟与收获,2.通过本节课的学习，你有什么收获？,1.本节课我们学习了哪些知识？,2.课外作业：已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P在BAC的平分线上.,F,A,B,C,P,N,作业,1.书面作业：P94习题19.4第4题,
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