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2.2随机变量的数学期望,分赌本问题(17世纪)甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元.无平局，谁先赢3局，则获全部赌注.当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博.问如何分赌本?,两种分法,1.按已赌局数分：则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/32.按已赌局数和再赌下去的“期望”分：因为再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4,2.2.1数学期望的概念,若按已赌局数和再赌下去的“期望”分，则甲的所得X是一个可能取值为0或100的随机变量，其分布列为：,X0100,P1/43/4,甲的“期望”所得是：01/4+1003/4=75.,2.2.2数学期望的定义,定义2.2.1设离散随机变量X的分布列为P(X=xn)=pn,n=1,2,.若级数,绝对收敛，则称该级数为X的,数学期望，记为,连续随机变量的数学期望,定义2.2.2设连续随机变量X的密度函数为p(x),若积分,绝对收敛，则称该积分为X的,数学期望，记为,例2.2.1,则,E(X)=,10.2+00.1+10.4+20.3=0.8.,X1012,P0.20.10.40.3,数学期望简称为期望.数学期望又称为均值.数学期望是一种加权平均.,注意点,2.2.3数学期望的性质,定理2.2.1设Y=g(X)是随机变量X的函数，若E(g(X)存在，则,例2.2.2设随机变量X的概率分布为,求E(X2+2).,=(02+2)1/2+(12+2)1/4+(22+2)1/4,=1+3/4+6/4=13/4,解:E(X2+2),X012,P1/21/41/4,数学期望的性质,(1)E(c)=c,(2)E(aX)=aE(X),(3)E(g1(X)+g2(X)=E(g1(X)+E(g2(X),例2.2.3,设X,求下列X的函数的数学期望.,(1)2X1,(2)(X2)2,解:(1)E(2X1)=1/3,(2)E(X2)2=11/6.,2.3随机变量的方差与标准差,数学期望反映了X取值的中心.方差反映了X取值的离散程度.,2.3.1方差与标准差的定义,定义2.3.1若E(XE(X)2存在，则称E(XE(X)2为X的方差，记为,Var(X)=D(X)=E(XE(X)2,(2)称,注意点,X=(X)=,(1)方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.方差越大,则随机变量的取值越分散.,为X的标准差.,标准差的量纲与随机变量的量纲相同.,2.3.2方差的性质,(1)Var(c)=0.性质2.3.2,(2)Var(aX+b)=a2Var(X).性质2.3.3,(3)Var(X)=E(X2)E(X)2.性质2.3.1,例2.3.1设X,求E(X),Var(X).,解:(1)E(X)=,=1,(2)E(X2)=,=7/6,所以,Var(X)=E(X2)E(X)2,=7/61=1/6,随机变量的标准化,设Var(X)0,令,则有E(Y)=0,Var(Y)=1.,称Y为X的标准化.,2.4常用离散分布,2.4.1二项分布记为Xb(n,p).X为n重伯努里试验中“成功”的次数,当n=1时，称b(1,p)为0-1分布.,试验次数为n=4,“成功”即取得合格品的概率为p=0.8,所以,Xb(4,0.8),思考：若Y为不合格品件数，Y？,Yb(4,0.2),一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次,每次一件,则取得合格品件数X服从二项分布.,若随机变量X的概率分布为,则称X服从参数为的泊松分布,记为XP().,2.4.2泊松分布,记为Xh(n,N,M).,超几何分布对应于不返回抽样模型：,N个产品中有M个不合格品，,从中抽取n个，不合格品的个数为X.,2.4.3超几何分布,记为XGe(p),X为独立重复的伯努里试验中，“首次成功”时的试验次数.,几何分布具有无记忆性，即：,P(Xm+n|Xm)=P(Xn),2.4.4几何分布,注意点,(1)二项随机变量是独立0-1随机变量之和.,(2)负二项随机变量是独立几何随机变量之和.,常用离散分布的数学期望,几何分布Ge(p)的数学期望=1/p,0-1分布的数学期望=p,二项分布b(n,p)的数学期望=np,泊松分布P()的数学期望=,常用离散分布的方差,0-1分布的方差=p(1p),二项分布b(n,p)的方差=np(1p),泊松分布P()的方差=,几何分布Ge(p)的方差=(1p)/p2,2.5常用连续分布,正态分布、均匀分布、指数分布、伽玛分布、贝塔分布。,记为XN(,2),其中0，是任意实数.,是位置参数.,是尺度参数.,2.5.1正态分布,y,x,O,正态分布的性质,(1)p(x)关于是对称的.,p(x),x,0,在点p(x)取得最大值.,(2)若固定,改变,(3)若固定,改变,大,p(x)左右移动,形状保持不变.,越大曲线越平坦;,越小曲线越陡峭.,p(x),x,0,x,x,标准正态分布N(0,1),密度函数记为(x),分布函数记为(x).,一般正态分布的标准化,定理2.5.1设XN(,2),则YN(0,1).,推论:,若XN(,2),则,若XN(,2),则P(Xa)=,设XN(10,4),求P(10X13),P(|X10|2).,解:P(10X13)=(1.5)(0),=0.93320.5,P(|X10|2)=,P(8X12),=2(1)1,=0.6826,=0.4332,例2.5.3,正态分布的3原则,设XN(,2),则,P(|X|)=0.6828.,P(|X|3)=2/3,设Y表示三次独立观测中A出现的次数,则Yb(3,2/3)，所求概率为,P(Y2)=,P(Y=2)+P(Y=3),=20/27,例2.5.5,2.5.3指数分布,记为XExp(),其中0.,特别：指数分布具有无忆性，即：,P(Xs+t|Xs)=P(Xt),常用连续分布的数学期望,均匀分布U(a,b):E(X)=(a+b)/2,指数分布Exp():E(X)=1/,正态分布N(,2):E(X)=,常用连续分布的方差,均匀分布U(a,b)的方差=(ba)2/12,指数分布Exp()的方差=1/2,正态分布N(,2)的方差=2,例2.5.6已知随机变量X服从二项分布，且E(X)=2.4,Var(X)=1.44,则参数n,p的值为多少？,例2.5.7设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则E(X2)的值为多少？,解：从2.4=np,1.44=np(1p)中解得,解：因为E(X)=np=4,Var(X)=2.4,所以,n=6,p=0.4.,E(X2)=Var(X)+(E(X)2=2.4+16=18.4,2.7分布的其它特征数,矩、变异系数、分位数、中位数,2.7.1k阶原点矩和中心矩,k阶原点矩：k=E(Xk)，k=1,2,.,注意:1=E(X).,k阶中心矩：k=EXE(X)k，k=1,2,.,注意:2=Var(X).,定义2.7.1,2.7.2变异系数,定义2.7.2,为X的变异系数.,作用：,称,CV是无量纲的量,用于比较量纲不同的两个随机变量的波动大小.,2.7.3分位数,P(Xxp)=F(xp)=p,定义2.7.3,设0p1，,若xp满足,则称xp为此分布p-分位数，,亦称xp为下侧p-分位数.,注意点,(1)因为X小于等于xp的可能性为p，所以X大于xp的可能性为1p.,(2)对离散分布不一定存在p-分位数.,(3),上侧p-分位数,若记xp为上侧p-分位数，即,则,P(Xxp)=p,2.7.4中位数,定义2.7.4,称p=0.5时的p分位数x0.5为中位数.,中位数与均值,相同点：都是反映随机变量的位置特征.,不同点：,含义不同.,统计中常用的p-分位数,(1)N(0,1)：Z,U,(2)2(n)：,(3)t(n)：,(4)F(n,m)：,
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