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第2课时,特殊的平行四边形,1.理解矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系.2.探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直，以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.正方形具有矩形和菱形的一切性质.,),1.(2017年湖北十堰)下列命题错误的是(A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.一条对角线平分一组对角的四边形是菱形D.对角线互相垂直的矩形是正方形答案：C,2.(2017年湖南怀化)如图4-3-25，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AOB60，AC6cm，则AB的,长是(,),图4-3-25,A.3cm,B.6cm,C.10cm,D.12cm,答案：A,),3.关于ABCD的叙述，正确的是(A.若ABBC，则ABCD是菱形B.若ACBD，则ABCD是正方形C.若ACBD，则ABCD是矩形D.若ABAD，则ABCD是正方形答案：C,4.(2017年四川宜宾)如图4-3-26，在菱形ABCD中，若AC,6，BD8，则菱形ABCD的面积是_.,图4-3-26答案：24,5.如图4-3-27，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DEAD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件_，使四边形DBCE是矩形.,图4-3-27,答案：EBDC(答案不唯一),(续表),(续表),菱形的性质与判定,例1：(2017年北京)如图4-3-28，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，ADBC，AD2BC，ABD90，E为AD的中点，连接BE.,图4-3-28,(1)求证：四边形BCDE为菱形；,(2)连接AC，若AC平分BAD，BC1，求AC的长.,思路分析(1)先证四边形BCDE是平行四边形，再证其为,菱形；,(2)利用等腰三角形的性质，锐角三角函数，即可求解.(1)证明：如图4-3-29，E为AD中点，AD2BC，BC,ED.,图4-3-29,ADBC,四边形BCDE是平行四边形.ABD90，AEDE，BEED.四边形BCDE是菱形.,(2)解：连接AC，如图4-3-29.ADBC，AC平分BAD，,BACDACBCA.BABC1.,【试题精选】,1.(2016年山东滨州节选)如图4-3-30，BD是ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG.请判断四边形EBGD的形状，并说明理由.,图4-3-30,解：(1)四边形EBGD是菱形理由如下：EG垂直平分BD，EBED，GBGD.EBDEDB.EBDDBC，EDFGBF.在EFD和GFB中，,EFDGFB(ASA)EDBG.BEEDDGGB.四边形EBGD是菱形,2.(2016年贵州安顺)如图4-3-31，在ABCD中，BC2AB,4，点E，F分别是BC，AD的中点.,(1)求证：ABECDF；,(2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积.,图4-3-31,(1)证明：在ABCD中，ABCD，BCAD，ABC,CDA，,BEDF.ABECDF(SAS),(2)解：四边形AECF为菱形时，AEEC.又点E是边BC的中点，BEEC，即BEAE.,名师点评菱形的性质可以用于证明线段相等、角相等、直线平行、垂直等，常与三角形全等、勾股定理、方程相结合进行相关问题的计算与证明.,矩形的性质与判定,例2：(2017年江苏徐州)如图4-3-32，在ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC.,图4-3-32,(1)求证：四边形BECD是平行四边形；,(2)若A50，则当BOD_时，四边形BECD,是矩形.,思路分析(1)由AAS证明BOECOD，得出OE,OD，即可得出结论；,(2)由平行四边形的性质得出BCDA50，由三角形的外角性质求出ODCBCD，得出OCOD，证出DEBC，即可得出结论.,(1)证明：四边形ABCD为平行四边形，ABDC，ABCD.OEBODC.,又O为BC的中点，,(2)解析：若A50，则当BOD100时，四边形,BECD是矩形.理由如下：,四边形ABCD是平行四边形，BCDA50.,BODBCDODC，,ODC1005050BCD.OCOD.,BOCO，ODOE，DEBC.,四边形BECD是平行四边形，四边形BECD是矩形.答案：100,【试题精选】3.(2017年山西)如图4-3-33，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到BCD，CD与AB交于点E.若135，则2的度,数为(,),图4-3-33,A.20,B.30,C.35,D.55,答案：A,4.(2015年山东聊城)如图4-3-34，在ABC中，ABBC，BD平分ABC.四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE.,求证：四边形BECD是矩形.,图4-3-34,证明：ABBC，BD平分ABC，BDAC，ADCD.,四边形ABED是平行四边形，,BEAD，BEAD.BECD，BECD.四边形BECD是平行四边形BDAC，BDC90.四边形BECD是矩形,名师点评矩形的四个角为直角，常将矩形转化为直角三角形；矩形的对角线将矩形分成四个等腰三角形，这些思路及矩形性质是证明线段、角相等以及线段平行、垂直的重要依据.,正方形的性质与判定,例3：(2017年湖南怀化)如图4-3-35，四边形ABCD是正,方形，EBC是等边三角形.(1)求证：ABEDCE；(2)求AED的度数.,图4-3-35,(1)证明：四边形ABCD是正方形，EBC是等边三角形，BABCCDBECE，ABCBCD90，EBCECB60.ABEDCE30.在ABE和DCE中，,ABEDCE(SAS).,(2)解：BABE，ABE30，,BAD90，,EAD907515.同理可得ADE15.AED1801515150.,【试题精选】5.(2016年贵州毕节)如图4-3-36，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.,),若BEEC21，则线段CH的长是(图4-3-36,A.3,B.4,C.5,D.6,答案：B,解题技巧与正方形有关的计算及推理题常与三角形的全等、勾股定理、方程、三角函数相联系，有关正方形的判定方法较多，一般在矩形、菱形的基础上，从边、角、对角线三个方向进一步分析、判断与证明.,1.(2017年广东)如图4-3-37，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：SABFSADF；SCDF4SCEF；SADF2SCEF；SADF,2SCDF，其中正确的是(,)图4-3-37,A.,B.,C.,D.,答案：C,2.(2016年广东)如图4-3-38，正方形ABCD的面积为1，则,),以相邻两边中点连接EF为边的正方形EFGH的周长为(图4-3-38,答案：B,3.(2015年广东)如图4-3-39，菱形ABCD的边长为6，ABC,60，则对角线AC的长是_.,图4-3-39,答案：6,4.(2015年广东)如图4-3-40，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG.,(1)求证：ABGAFG；(2)求BG的长.,图4-3-40,解：(1)在正方形ABCD中，ADABBCCD，DBC90.将ADE沿AE对折至AFE，ADAF，DEEF，DAFE90.ABAF，BAFG90.,ABGAFG(HL),(2)由(1)，得BGFG.设BGFGx，则GC6x.E为CD的中点，CEEFDE3.EG3x.在RtCEG中，32(6x)2(3x)2.解得x2.BG2.,5.(2017年广东)如图4-3-41，已知四边形ABCD，ADEF都,是菱形，BADFAD，BAD为锐角.,(1)求证：ADBF；,(2)若BFBC，求ADC的度数.,图4-3-41,(1)证明：如图D24，连接DB，DF.,图D24,四边形ABCD，ADEF都是菱形，,ABBCCDDA，ADDEEFFA.在BAD与FAD中，,BADFAD.DBDF.D在线段BF的垂直平分线上ABAF，A在线段BF的垂直平分线上AD是线段BF的垂直平分线ADBF.,(2)解：如图D25，设ADBF于H，作DGBC于G，则,四边形BGDH是矩形，,图D25,BFBC，BCCD，,
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