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第八章专题拓展8.2与动点有关的几何图形折叠型,中考数学(河南专用),一、填空题1.(2017漯河二模,15)如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=7,点E为BC上一动点,把ABE折叠,当点B的对应点B落在ADC的角平分线上时,则点B到BC的距离为.,好题精练,答案2或1,解析连接BD,过点B作BMAD于M.点B的对应点B落在ADC的角平分线上,MDB=MBD=45.在RtBDM中,设DM=BM=x,则AM=7-x.由折叠知AB=AB=5.在RtAMB中,由勾股定理得AM2=AB2-BM2,即(7-x)2=25-x2,解得x=3或x=4,点B到BC的距离为2或1.,2.(2017四川攀枝花,15,4分)如图,D是等边ABC边AB上的点,AD=2,DB=4.现将ABC折叠,使得点C与点D重合,折痕为EF,且点E、F分别在边AC和BC上,则=.,答案,解析ABC是等边三角形,A=B=C=60,AB=AC=BC=6.由折叠的性质可知,EDF=C=60,EC=ED,FC=FD,AED=BDF,AEDBDF,=,=.,思路分析根据等边三角形的性质、折叠的性质,一线三等角模型判定AEDBDF,由相似三角形的周长比等于相似比计算即可.解题关键是把求的值转化为求AED和BDF的周长的比值.,3.(2017林州二模,15)已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A(11,0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B,C重合),经过点O、P折叠该纸片,得点B和折痕OP(如图),经过点P再次折叠纸片,使点C落在直线PB上,得点C和折痕PQ(如图),当点C恰好落在OA上时,点P的坐标是.,答案或,解析在矩形OACB中,由折叠得:BP=PB,OB=OB=6,CP=CP,CQ=CQ.设BP=BP=x,则PC=PC=11-x,BCAC,1=POA.1=2,2=COP,OC=PC=11-x,BC=11-2x.在RtOBC中,由勾股定理得,OC2=OB2+BC2,62+(11-2x)2=(11-x)2.解得x=.,BP=或.P或.,4.(2017山东营口,17,3分)在矩形纸片ABCD中,AD=8,AB=6,E是边BC上的点,将纸片沿AE折叠,使点B落在点F处,连接FC,当EFC为直角三角形时,BE的长为.,答案3或6,解析当EFC=90时,如图1,AFE=B=90,EFC=90,A、F、C三点共线,矩形ABCD的边AD=8,BC=AD=8,在RtABC中,AC=10,设BE=x,则CE=BC-BE=8-x,由翻折的性质得,AF=AB=6,EF=BE=x,CF=AC-AF=10-6=4,在RtCEF中,EF2+CF2=CE2,即x2+42=(8-x)2,解得x=3,即BE=3.,当CEF=90时,如图2,由翻折的性质得,AEB=AEF=90=45,四边形ABEF是正方形,BE=AB=6.综上所述,BE的长为3或6.,5.(2017南阳唐河三模,15)如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,点E为射线BC上一动点,将ABE沿AE折叠,得到ABE.若B恰好落在射线CD上,则BE的长为.,答案或15,解析分两种情况:如图1,当B在线段CD上时,在矩形ABCD中,由折叠得,AB=AB=5,BE=BE,CE=3-BE,AD=3,DB=4,BC=1.在RtEBC中,BE2=CE2+BC2,BE2=(3-BE)2+12,BE=.如图2,当B在射线CD上时,在矩形ABCD中,由折叠得,AB=AB=5,BF=BF,BE=BE,1=2.,CDAB,1=3.2=3.AE垂直平分BB,AB=BF=5.在RtFBC中,由勾股定理得CF=4,CFAB,EFCEAB.,=,即=,CE=12.BE=15.综上所述,BE的长为或15.,思路分析本题是以矩形为背景的翻折变换,考察了折叠的性质,勾股定理等知识,点B在以A为圆心AB长为半径的圆上,与射线CD有两个交点.分类讨论,当B在线段CD上或B在射线CD上时,根据勾股定理、相似三角形的性质,列方程即可求得到结论.,6.(2017山西,22,12分)综合与实践背景阅读早在三千多年前,我国周朝数学家商高就提出:将一根直尺折成一个直角,如果勾等于三,股等于四,那么弦就等于五,即“勾三,股四,弦五”.它被记载于我国古代数学著作周髀算经中.为了方便,在本题中,我们把三边的比为345的三角形称为(3,4,5)型三角形.例如:三边长分别为9,12,15或3,4,5的三角形就是(3,4,5)型三角形.用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形.实践操作如图1,在矩形纸片ABCD中,AD=8cm,AB=12cm.第一步:如图2,将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使点D落在AB上的点E处,折痕为AF,再沿EF折叠,然后把纸片展平.第二步:如图3,将图2中的矩形纸片再次折叠,使点D与点F重合,折痕为GH,然后展平,隐去AF.第三步:如图4,将图3中的矩形纸片沿AH折叠,得到ADH,再沿AD折叠,折痕为AM,AM与折痕EF交于点N,然后展平.,二、解答题,图1图2图3图4,问题解决(1)请在图2中证明四边形AEFD是正方形;(2)请在图4中判断NF与ND的数量关系,并加以证明;(3)请在图4中证明AEN是(3,4,5)型三角形;探索发现(4)在不添加字母的情况下,图4中还有哪些三角形是(3,4,5)型三角形?请找出并直接写出它们的名称.,解析(1)证明:四边形ABCD是矩形,D=DAE=90.由折叠知AE=AD,AEF=D=90,(1分)D=DAE=AEF=90,四边形AEFD是矩形.(2分)AE=AD,矩形AEFD是正方形.(3分)(2)NF=ND.证明:连接HN.由折叠知ADH=D=90,HF=HD=HD.(4分)四边形AEFD是正方形,EFD=90.ADH=90,HDN=90.(5分),在RtHNF和RtHND中,RtHNFRtHND,NF=ND.(6分)(3)证明:四边形AEFD是正方形,AE=EF=AD=8cm.由折叠知AD=AD=8cm.设NF=xcm,则ND=xcm,AN=AD+ND=(8+x)cm,EN=EF-NF=(8-x)cm.(7分)在RtAEN中,由勾股定理得AN2=AE2+EN2,即(8+x)2=82+(8-x)2,解得x=2,(8分)AN=8+x=10(cm),EN=8-x=6(cm),ENAEAN=6810=345,AEN是(3,4,5)型三角形.(9分)(4)MFN,MDH,MDA.(12分),思路分析(1)由矩形的性质得D=DAE=90,由折叠的性质得AE=AD,AEF=D=90,由四边形AEFD是矩形且一组邻边相等可知四边形AEFD为正方形;(2)连接HN,利用直角三角形全等的判定定理证得RtHNFRtHND,再由三角形全等的性质得NF=ND;(3)先分别求出AEN的三边长,再证明AEN的三边长之比等于345;(4)要找(3,4,5)型三角形,实质就是找与AEN相似的三角形.,
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