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第25讲与圆有关的位置关系,考点一点与圆的位置关系(近五年未考查)点与圆的位置关系有三种,可转化为点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系.设O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则点P在O内dr.,夯基础学易,考点二直线与圆的位置关系(5年5考)1.直线与圆的位置关系有三种,可转化为圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系.设O的半径为r,点O到直线l的距离为d,则,2.切线的性质和判定切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径.切线的判定:过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,1.(2018山东泰安)如图,BM与O相切于点B,若MBA=140,则ACB的度数为(A)A.40B.50C.60D.70,2.(2018四川南充)如图,C是O上一点,点P在直径AB的延长线上,O的半径为3,PB=2,PC=4.(1)求证:PC是O的切线;(2)求tanCAB的值.,解析(1)证明:如图,连接OC,O的半径为3,PB=2,OC=OB=3,OP=OB+PB=5,PC=4,OC2+PC2=OP2,OCP是直角三角形,OCP=90,OCPC,PC是O的切线.,(2)连接BC,AB是直径,ACB=90,ACO+OCB=90,OCPC,BCP+OCB=90,BCP=ACO,OA=OC,A=ACO,A=BCP,在PBC和PCA中,BCP=A,P=P,PBCPCA,=,tanCAB=.,考点三三角形的外接圆及内切圆的性质,圆内接四边形的性质及推论(近五年未考查),1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.,2.三角形的三个顶点确定的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形上边的垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.,3.和三角形三边都相切的圆有且只有一个,叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.,4.圆内接四边形的对角互补;圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.,3.(2018山东烟台)如图,四边形ABCD内接于O,点I是ABC的内心,AIC=124,点E在AD的延长线上,则CDE的度数为(C)A.56B.62C.68D.78,4.(2018四川内江)已知ABC的三边a,b,c满足a+b2+|c-6|+28=4+10b,则ABC的外接圆半径为.,5.(2018山东威海)如图,在扇形CAB中,CDAB,垂足为D,E是ACD的内切圆,连接AE,BE,则AEB的度数为135.,考点四圆内接正多边形的性质(近五年未考查),1.各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆,这两个圆是同心圆.,2.把圆分成n(n3)等份:依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形,这个圆叫做正n边形的外接圆;正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径,正多边形的中心到其一边的距离叫做正多边形的边心距;正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角.,3.正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都经过正n边形的中心;边数为偶数的正多边形是中心对称图形,它的对称中心是正多边形的中心.,6.(2018湖南株洲)如图,正五边形ABCDE和正三角形AMN都是O的内接多边形,则BOM=48.,例1(2018四川泸州)在平面直角坐标系内,以原点O为原心,1为半径作圆,点P在直线y=x+2上运动,过点P作该圆的一条切线,切点为A,则PA的最小值为(D)A.3B.2C.D.命题亮点本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连接过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.也考查了一次函数的性质.,类型一切线的性质的应用,研真题优易,1.如图,AB是O的弦,点C在过点B的切线上,且OCOA,OC交AB于点P,已知OAB=22,则OCB=44.,例2(2018山东菏泽)如图,ABC内接于O,AB=AC,BAC=36,过点A作ADBC,与ABC的平分线交于点D,BD与AC交于点E,与O交于点F.(1)求DAF的度数;(2)求证:AE2=EFED;(3)求证:AD是O的切线.,类型二切线的判定的应用,命题亮点本题考查了切线的判定、圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识点,能综合运用定理进行推理是解此题的关键.解题思路(1)求出ABC、ABD、CBD的度数,进而求出D度数,根据三角形内角和定理求出BAF和BAD度数,即可求出答案;(2)证明AEFDEA,根据相似三角形的性质得出结论;(3)连接AO,OF,求出OAD=90即可.开放解答,解析(1)ADBC,D=CBD,AB=AC,BAC=36,ABC=ACB=(180-BAC)=72,AFB=ACB=72,BD平分ABC,ABD=CBD=ABC=72=36,D=CBD=36,BAD=180-D-ABD=180-36-36=108,BAF=180-ABF-AFB=180-36-72=72,DAF=DAB-FAB=108-72=36.(2)证明:CBD=36,FAC=CBD,FAC=36=D,AED=AEF,AEFDEA,=,AE2=EFED.,(3)证明:连接OA、OF,ABF=36,AOF=2ABF=72,OA=OF,OAF=OFA=(180-AOF)=54,由(1)知DAF=36,OAD=36+54=90,即OAAD,OA为半径,AD是O的切线.,2.如图,AB为O的直径,点C在O上,ADCD于点D,且AC平分DAB,求证:(1)直线DC是O的切线;(2)AC2=2ADAO.,证明(1)如图,连接OC,OA=OC,OAC=OCA,AC平分DAB,OAC=DAC,DAC=OCA,OCAD,又ADCD,OCDC,DC是O的切线.,(2)连接BC,AB为O的直径,AB=2AO,ACB=90,ADDC,ADC=ACB=90,又DAC=CAB,DACCAB,=,即AC2=ABAD,AB=2AO,AC2=2ADAO.,例3(2018江苏无锡)如图,四边形ABCD内接于O,AB=17,CD=10,A=90,cosB=,求AD的长.命题亮点本题考查了圆内接四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形,求出AF=以及sinADF=是解题的关键.,类型三圆内接四边形性质的应用,解题思路根据圆内接四边形的对角互补得出C=90,ABC+ADC=180.作AEBC于E,DFAE于F,则四边形CDFE是矩形,EF=CD=10.解RtAEB,得出BE=ABcosABE=,AE=,那么AF=AE-EF=.再证明ABC+ADF=90,易得sinADF=cosABC=.解RtADF,即可求出AD=6.开放解答,解析四边形ABCD内接于O,A=90,C=180-A=90,ABC+ADC=180.作AEBC于E,DFAE于F,则四边形CDFE是矩形,EF=CD=10.在RtAEB中,AEB=90,AB=17,cosABC=,BE=ABcosABE=,AE=,AF=AE-EF=-10=.ABC+ADC=180,CDF=90,ABC+ADF=90,cosABC=,sinADF=cosABC=.在RtADF中,AFD=90,sinADF=,AD=6.,3.如图,已知O的半径为2,ABC内接于O,ACB=135,则AB=2.,命题点圆的切线、正方形、等腰三角形的性质(2014山西,15,3分)一走廊拐角的横截面如图所示,已知ABBC,ABDE,BCFG,且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m.的圆心为O,半径为1m,且EOF=90,DE,FG分别与O相切于E,F两点.若水平放置的木棒MN的两个端点M,N分别在AB和BC上,且MN与O相切于点P,P是的中点,则木棒MN的长度为4-2m.,试真题练易,易错题如图,四边形ABCD内接于O,点E在BC的延长线上,若BOD=120,则DCE=.,探难疑知易,解析BOD=120,A=BOD=60.四边形ABCD是圆内接四边形,DCE=A=60.故答案为60.,答案60,错解120错误鉴定认为四边形的对角互补,忽略“圆内接四边形”这一条件,得BCD=60,DCE=120.,如图,O的半径为3,四边形ABCD内接于O,连接OB、OD,若BOD=BCD,则劣弧的长为(C)A.B.C.2D.3,
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