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第21讲锐角三角函数及其应用,考点一锐角三角函数(5年1考)1.定义如图,在RtABC中,C=90,A为ABC中的一个锐角,A、B、C的对边分别为a、b、c,则有:(1)A的正弦:sinA=.,(2)A的余弦:cosA=.(3)A的正切:tanA=.,夯基础学易,2.特殊角的三角函数值,学法提点判断所求的角是否在直角三角形中,记清楚文字表达、符号与对应比值之间的关系即能进行正确求解.,1.(2018德州)如图,在44的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点,ABC的顶点都在格点上,则BAC的正弦值是.,考点二直角三角形的边角关系(5年4考)如图,在RtABC中,C=90,A、B为ABC中的两个锐角,A、B、C的对边分别为a、b、c.,1.三边关系:a2+b2=c2;2.两锐角之间的关系:A+B=90;,3.边角关系:sinA=cosB;cosA=sinB;tanA=.,学法提点解答这类问题时首先要注意已知的边和角是不是直角三角形的边和角,如果不是,则需通过辅助线构造直角三角形,其次要分析已知和未知的关系选择恰当的三角函数进行求解.,2.(2018金华)如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得ABC=,ADC=,则竹竿AB与AD的长度之比为(B)A.B.C.D.,考点三解直角三角形的实际应用,学法提点直角三角形是常见的模型,解决问题时通常要将仰角与俯角,坡度,方向角通过作辅助线放入直角三角形中,分析题中的数量关系,经常需要方程和解直角三角形结合解决问题.,3.(2018重庆A卷,10,4分)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角AED=58,升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米,升旗台坡面CD的坡度i=10.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米,则旗杆AB的高度约为(B)(参考数据:sin580.85,cos580.53,tan581.6),A.12.6米B.13.1米C.14.7米D.16.3米,类型三角函数的应用,研真题优易,例(2018山西,19,8分)祥云桥位于太原南部,该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成,全桥共设13对直线型斜拉索,造型新颖,是“三,晋大地”的一种象征.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动,他们制订了测量方案,并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量.测量结果如下表:,(1)请帮助该小组根据上表中的测量数据,求斜拉索端点C到AB的距离(参考数据:sin380.6,cos380.8,tan380.8,sin280.5,cos280.9,tan280.5);(2)该小组要写出一份完整的课题活动报告,除上表的项目外,你认为还需要补充哪些项目(写出一个即可).,命题亮点以项目性学习的形式考查利用三角函数求物体的高度,项目性学习的主要特征是以课题的形式出现,并要写活动报告.形式新颖超前,学科之间的整合项目性学习是一种积极的探索.解题思路(1)过点C作CDAB于点D.设CD=x米,解直角三角形表示出相关线段长度列出方程即可求出;(2)还需要补充的项目可为:测量工具,计算过程,人员分工,指导教师,活动感受等.,开放解答解析(1)如图,过点C作CDAB于点D.设CD=x米,在RtADC中,ADC=90,A=38.tan38=,AD=x.在RtBDC中,BDC=90,B=28.tan28=,BD=2x.,AD+BD=AB=234,x+2x=234.解得x=72.答:斜拉索端点C到AB的距离为72米.(2)答案不唯一,还需要补充的项目可为测量工具,计算过程,人员分工,指导教师,活动感受等.,1.如图,为保护门源百里油菜花海,由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB,AC.若B=56,C=45,则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为60米.(sin560.8,tan561.5),2.如图,在办公楼AB和实验楼CD之间有一旗杆EF,从办公楼AB顶部A点处经过旗杆顶部E点恰好看到实验楼CD的底部D点,且俯角为45,从实验楼CD顶部C点处经过旗杆顶部E点恰好看到办公楼AB的G点,BG=1米,且俯角为30,已知旗杆EF=9米,求办公楼AB的高度.(结果精确到1米,参考数据:1.41,1.73),解析由题意可知BAD=ADB=45,FD=EF=9米,AB=BD,在RtGEH中,tanEGH=,即=,BF=GH=8米,PG=BD=BF+FD=(8+9)米,AB=(8+9)米23米.答:办公楼AB的高度约为23米.,命题点一三角函数的应用仰角、俯角问题,试真题练易,1.(2017山西,14,3分)如图,创新小组要测量公园内一棵树的高度AB,其中一名小组成员站在距离树10米的点E处,测得树顶A的仰角为54.已知测角仪的架高CE=1.5米,则这棵树的高度为15.3米(结果保留一位小数.参考数据:sin54=0.8090,cos54=0.5878,tan54=1.3764).,命题点二三角函数的应用坡度、坡角问题2.(2016山西,21,10分)太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点,已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业.如图是太阳能电池板支撑架的截面图,其中的粗线表示支撑角钢,太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同,均为300cm,AB的倾斜角为30,BE=CA=50cm,支撑角钢CD,EF与底座地基台面接触点分别为D,F,CD垂直于地面,FEAB于点E.两个底座地基高度相同(即点D,F到地面的垂直距离相同),均为30cm,点A到地面的垂直距离为50cm,求支撑角钢CD和EF的长度各是多少(结果保留根号).,解析如图,设G为射线AG与线段CD的交点.则CAG=30.在RtACG中,CG=ACsin30=50=25(cm).,由题意,得GD=50-30=20(cm),CD=CG+GD=25+20=45(cm).连接FD并延长与BA的延长线交于点H.由题意,得H=30.在RtCDH中,CH=2CD=90(cm),EH=EC+CH=AB-BE-AC+CH=300-50-50+90=290(cm).在RtEFH中,EF=EHtan30=290=(cm).,答:支撑角钢CD的长为45cm,EF的长为cm.,3.(2014山西,21,7分)如图,点A,B,C表示某旅游景区三个缆车站的位置,线段AB,BC表示连接缆车站的钢缆,已知A,B,C三点在同一铅直平面内,它们的海拔高度AA,BB,CC分别为110米,310米,710米,钢缆AB的坡度i1=12,钢缆BC的坡度i2=11,景区因改造缆车线路,需要从A到C直线架设一条钢缆,那么钢缆AC的长度是多少米?(注:坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比),解析如图,过点A作AECC于点E,交BB于点F,过点B作BDCC于点D.则AFB,BDC和AEC都是直角三角形,四边形AABF、BBCD和BFED都是矩形.BF=BB-FB=BB-AA=310-110=200,CD=CC-DC=CC-BB=710-310=400.i1=12,i2=11,AF=2BF=400,BD=CD=400.又FE=BD=400,DE=BF=200,AE=AF+FE=800,CE=CD+DE=600.在RtAEC中,AC=1000(米).答:钢缆AC的长度为1000米.,易错题(2018绵阳)一艘在南北航线上的测量船,于A点处测得海岛B在点A的南偏东30方向,继续向南航行30海里到达C点时,测得海岛B在C点的北偏东15方向,那么海岛B离此航线的最近距离是(结果保留小数点后两位)(参考数据:1.732,1.414)(A)A.4.64海里B.5.49海里C.6.12海里D.6.21海里,探难疑知易,解析如图所示,由题意知,BAC=30,ACB=15,作BDAC于点D,以点B为顶点、BC为边,在ABC内部作CBE=ACB=15,则BED=30,BE=CE,设BD=x,则AB=BE=CE=2x,AD=DE=x,AC=AD+DE+CE=2x+2x,AC=30,2x+2x=30,解得x=5.49,故海岛B离地航线的最近距离是5.49海里.故选B.,答案B错解C错误鉴定不能准确画出方向角导致出错.,1.(2018凉山州)无人机在A处测得正前方河流两岸B、C的俯角分别为=70、=40,此时无人机的高度是h,则河流的宽度BC为(C)A.h(tan50-tan20)B.h(tan50+tan20),C.hD.h,2.(2018潍坊,18,3分)如图,一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁P在东北方向上,继续航行1.5小时后到达B处,此时测得岛礁P在北偏东30方向,同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60方向.为了在台风到来之前用最短时间到达M处,渔船立刻加速,若以75海里/小时的速度继续航行,则小时即可到达.(结果保留根号),
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