资源描述
1,性质1:若X=C，C为常数，则Var(X)=0.,性质2:若b为常数,随机变量X的方差存在，则bX的方差存在，且Var(bX)=b2Var(X),Var(aX+b)=a2Var(X),结合性质1与性质2就有,2,若随机变量X1,X2,Xn的方差都存在，则X1+X2+.+Xn的方差存在，且,若随机变量X1,X2,Xn相互独立，则,性质4:,n2时就有,性质3:,Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2E(X-EX)(Y-EY),若X,Y独立，Var(XY)=Var(X)+Var(Y),3,注：以后若无特殊说明，都认为随机变量的方差大于0。,性质5:,对任意常数C,Var(X)E(XC)2,等号成立当且仅当C=E(X).,4,例1.设XB(n,p)，求Var(X).,解：引入随机变量,故,则,由于,5,例2.标准化随机变量,设随机变量X的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称,为X的标准化随机变量.显然，,6,则:,例3.设X1,X2,Xn相互独立，有共同的期望和方差，,证明:,7,例4.已知随机变量X1,X2,Xn相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1，令Y=X1+X2+Xn.求E(Y2).,解：由已知，则有,因此，,8,例5.设随机变量X和Y相互独立，且XN(1,2),YN(0,1),试求Z=2X-Y+3的期望和方差。,由已知，有E(X)=1,D(X)=2,E(Y)=0,D(Y)=1,且X和Y独立。因此，,D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9.,E(Z)=2E(X)E(Y)+3=2+3=5,解:,注：由此可知ZN（5,9）。,9,思考：为什么？,一般地，,10,C.两个不等式,定理3.2(马尔可夫(Markov)不等式)：对随机变量X和任意的0，有,证明:设为连续型,密度函数为f(x),则,11,上式常称为切比雪夫（Chebyshev）不等式,在马尔可夫不等式中取=2,X为X-EX得,是概率论中的一个基本不等式.,12,例6.已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a，使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。,解：由切比雪夫不等式,令,13,例7.在每次试验中，事件A发生的概率为0.75,利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.740.76之间的概率至少为0.90?,解:设X为n次试验中事件A出现的次数，,的最小的n.,则XB(n,0.75).,而所求为满足,于是，E(X)=0.75n,Var(Y)=0.75*0.25n=0.1875n。,14,=P(-0.01nX-0.75n0.01n),=P|X-E(X)|0.01n,P(0.74nX0.76n),可改写为,=P|X-E(X)|0.01n,15,解得,依题意，取,即n取18750时，可以使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.740.76之间的概率至少为0.90.,16,定理3.3(内积不等式或Cauchy-Schwarz不等式)设EX20,称,为X,Y的相关系数，记为,事实上，,20,利用函数的期望或方差计算协方差,若(X,Y)为离散型，,若(X,Y)为连续型，,21,求cov(X,Y),XY,解:,22,23,例9.设(X,Y)N(1,12,2,22,),求XY,解:,24,定理：若(X,Y)N(1,12,2,22,),则X,Y相互独立,X,Y不相关,因此，,25,例10.设U(0,2),X=cos,Y=cos(+),是给定的常数，求XY,解:,26,27,协方差的性质,当且仅当,时，等式成立,Cauchy-Schwarz不等式,28,相关系数的性质,Cauchy-Schwarz不等式的等号成立,即Y与X有线性关系的概率等于1，这种线性关系为,29,X,Y不相关,注：X与Y不相关仅仅是不线性相关，可以非线性相关。,30,X,Y相互独立,X,Y不相关,若X,Y服从二维正态分布，,X,Y相互独立,X,Y不相关,31,若X,Y是两个随机变量，用X的线性函数去逼近Y所产生的均方误差为,当取,使得均方误差最小.,例：最小二乘法的思想,若则线性逼近无意义。为什么？,32,例11.设(X,Y)N(1,4;1,4;0.5),Z=X+Y,求XZ,解:,33,例12：设XN(0,4),YP(2),XY=1/2,求E(X+Y)2.,解:,E(X+Y)2=E(X+Y)2+Var(X+Y),注意到,=EX+EY)2+Var(X)+Var(Y)+2cov(X,Y),把条件代入即得E(X+Y)2=,由题设知:EX=0,Var(X)=4,EY=2,Var(Y)=2,XY=1/2,而,34,设二维随机变量(X,Y),k,l为非负整数。mk=E(Xk)称为X的k阶原点矩，k=E(X-E(X)k称为X的k阶中心矩，mkl=E(XkYl)称为X和Y的(k,l)阶混合原点矩，kl=E(X-E(X)k(Y-E(Y)l称为X和Y的(k,l)阶混合中心矩.显然数学期望为1阶原点矩,方差为2阶中心矩,而协方差为(1,1)阶混合中心矩.,35,例13.设X服从N(0,1)分布，求E(X3),E(X4)。,解：X的密度函数为：,注：此例是128页4.17的特例。,36,作业:,128页:4.12;4.16(2);4.26;4.28。,
展开阅读全文