概率2-3随机变量的函数的分布.ppt

至此，我们已初步介绍了两类重要的随机变量:离散型r.v和连续型r.v（r.v表示随机变量）,能不能对它们给出一种统一的描述方法？,对它们分别用概率函数和密度函数描述.,比如，某厂的电机的噪声电压V的密度分布：,求功率W=V2/R(R为电阻)的分布.,在实际应用中，人们常常对随机变量的函数感兴趣.,2.4随机变量函数的分布,在许多实际问题中,常常需要研究随机变量的函数,例:测量圆轴截面的直径d,而关心的却是截面积：,d为随机变量,S就是随机变量d的函数。,的分布。,在统计物理中,已知分子的运动速度x的分布,求其动能：,一般地，设y=g(x)是一元实函数，X是一个随机变量，若X的取值在函数y=g(x)的定义域内，则Y=g(X)也为一随机变量。,随机变量的函数,随机变量,分布函数,密度函数,随机变量的函数是一个这样的随机变量，若随机变量Y满足：Y=g(X)则称随机变量Y是X的随机变量的函数。,设随机变量X的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由X的分布求出Y的分布？,方法将与Y有关的事件转化成X的事件,设r.v.X的分布律为,由已知函数g(x)可求出r.v.Y的所有可能取值，则Y的概率分布为,离散型r.v.函数的分布,设X为离散型RV,其分布律为,随机变量X的函数Y=g(X)的分布律为,有可能g(xi)与g(xj)相同，此时将两项合并，对应概率相加,离散随机变量的函数的分布,【例】已知X的概率分布为,求Y1=2X1与Y2=X2的分布律,【例】已知X的概率分布为,其中p+q=1,0p1,求Y=SinX的概率分布,解,故Y的概率分布为,课堂练习：加油站代营出租车业务，每出租1辆车收入3元。该油站每天要付出60元工职。每天出租汽车数X的分布律如下：,求加油站获利的概率。,方法：,（1）从分布函数出发（2）用公式直接求密度函数,连续性r.v.函数的分布,设X为一个连续型R.V，其概率密度函数为f(x)。y=g(x)为一个连续函数，求随机变量Y=g(X)的概率密度函数fY(y)。,(1)求Y的分布函数FY(y),(2)对FY(y)求导，得到fY(y),分布函数法,解不等式转化为求关于X的概率,【例】设随机变量X具有概率密度,求随机变量Y=2X+8的概率密度。,先求Y=2X+8的分布函数FY(y).,Step1:,求Y=2X+8的概率密度,Step2:,【例】设随机变量X具有概率密度,解,先求分布函数FY(y)。,由于,解不等式转化为求关于X的概率,于是得Y的概率密度为：,从上述两例中可以看到，在求P(Yy)的过程中，关键的一步是设法从g(X)y中解出X,从而得到与g(X)y等价的X的不等式。,这样做是为了利用已知的X的分布，从而求出相应的概率。,这就是分布函数法。,例如，用代替2X+8y,用代替X2y,【例】已知随机变量XN(0,1)。,解,【例】已知随机变量X,解,定理设随机变量X具有概率密度,又设函数,处处可导，且,（或,），,是连续型随机变量，其概率密度为：,则,其中,是函数,的反函数.,【例】设XN（0，1），其概率密度为：,则,概率密度函数为：,此时称Y服从自由度为1的分布。,【例】设随机变量，证明,解,推论,定理,求的密度函数,解:是x的单调可导函数,即Y服从19，21上的均匀分布,Y=0.1X+10的密度函数为,X的密度函数为,设随机变量服从90，110上的均匀分布,求Y=0.1X+10的密度函数。,例,解,注意连续r.v.的函数的分布函数不一定是连续函数,例如XU(0,2),令Y=g(X),FY(y)不是连续函数,练一练,X,求其密度函数f(x).,A,B,C,h,.M,问题,M,点M到AB的距离为随机变量,X,求其密度函数f(x).,问题,设r.v.服从(0,1)内均匀分布,又,其中,求r.v.的p.d.f.,问题,思考题：,设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,设,Y=g(X)是连续型的随机变量吗?,思考题答案：,否.Y在0,1上取值,Y的分布函数为,不是连续函数,Y不是连续型的随机变量.,又Y的取值不是有限个或可列个,Y也不是离散型的随机变量.,Y是一个非离散非连续型的随机变量.,1.设离散型随机变量X的分布律为,练习题：,求:(1)X+2;(2)的分布律.,2.若X服从上的均匀分布,求Y=tanX的密度函数.,3.对圆的直径作近似度量,设其值均匀分布于(a,b)内,试求圆的面积的密度函数.,4.设随机变量X的密度函数为,求的分布函数和密度函数.,5.随机变量X服从参数为的指数分布,求Y=1/X的概率密度.,6.设随机变量X服从参数为p的几何分布,即,求:的分布律.,1.(1),(2),练习题答案：,3.解:设圆的直径为随机变量D,圆的面积,4.解法一(分布函数法),X的取值范围是(-1,1),Y的取值范围是1,2),解法二(公式法),在(-1,0)上单调减少,在(0,1)上单调增加,再求Y的分布函数,Y的分布函数为,6.解：随机变量Y的取值是-1,0,1,