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在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.,求截面面积A=的分布.,例如，已知圆轴截面直径d的分布，,引言,又如已知t=t0时刻噪声电压V的分布，,求功率W=V2/R(R为电阻）的分布等.,2.4随机变量的函数的分布,这类问题一般的提法是：若X是随机变量，求Y=g(X)的分布(其中y=g(x)是x的一个实值函数)。为了求Y的分布，首先我们要理解Y是一个怎样的随机变量，设X是定义在样本空间=上的随机变量，那么Y=Y()=g(X()，由此可见Y亦是定义在上的随机变量，它是经过g(.)与X(.)复合而成的。,设X是离散型随机变量，则Y=g(X)一般也是离散型随机变量。此时，只需由X分布律求得Y的分布律即可。,求(1)Y=X-1;(2)Y=-2X2的分布律,例:设离散型随机变量X的分布律为,一、离散型随机变量函数的分布,解:由X的分布律可得下表P2/101/101/103/103/10X-10123X-1-2-1012-2X2-20-2-8-18由此可见(1)Y=X-1的所有可能取值为-2,-1,0,1,2，且PY=-2=PX=-1=2/10;PY=-1=PX=0=1/10；PY=0=PX=1=1/10;PY=1=PX=2=3/10；PY=2=PX=3=3/10。,故得Y=X-1的分布律为,(2)Y=-2X2的所有可能取值为-18,-8,-2,0;且PY=-18=PX=3=3/10;PY=-8=PX=2=3/10；PY=-2=PX=1+PX=-1=1/10+3/10=2/5;PY=0=PX=0=1/10；,故得Y=-2X2的分布律为,一般地，我们先由X的取值xk，k=1，2，求出Y的取值yk=g(xk)，k=1，2如果诸yk都不相同，则由PY=yk=PX=xk可得Y的分布律；如果诸yk中有某些取值相同，则把相应的X的取值的概率相加。,二、连续型随机变量函数的分布,再由FY(y)进一步求出Y的概率密度,设X为连续型随机变量，具有概率密度fx(x)，又Y=g(X)，在大部分情况下Y也是连续型随机变量，若Y是连续型随机变量，考虑求出Y的概率分布。,1一般方法可先求出Y的分布函数FY(y)：因为FY(y)=PYy=Pg(X)y，设ly=x|g(x)y则,例1:设随机变量X具有概率密度,求Y=2X+1的概率密度.解:先求Y的分布函数,计算的关键在于确定积分区间ly，即解不等式g(x)y得出x的解区间ly。这种方法我们称之为分布函数法。,当1y9时，0(y-1)/24，,当y9时FY(y)=1,由此可得Y的概率密度为,当y0(或恒有g(x)0的情况。此时g(x)在(-,+)严格单调增加，它的反函数h(y)存在，且在(，)严格单调增加，可导，现在先来求Y的分布函数FY(y)。,因为Y=g(X)在(，)取值，故当y时，FY(y)=PYy=0；当y时，FY(y)=PYy=1；当y0(或恒有g(x)0)，此时,若g(x)0且有反函数=h(v)=arcsin(V/A)，,又的概率密度为,于是，由公式：,若在上题中在(0，)上服从均匀分布，因为此时v=g()=Asin在(0，)上不是单调函数，上述定理失效，此时方法如何？,例4设X在0,服从均匀分布，求：Y=sinX的分布函数FY(y).解：（1）,（2）y=sinx在0,不单调，但可分为两单调区间（0,/2）(/2,),（3）求：FY(y)=PYy当0y1时：FY(y)=PsinX1,G(y)=1;,对y0,G(y)=0;,由于,对0y1,G(y)=P(Yy),=P(F(X)y),=P(X(y),=F(y)=y,即Y的分布函数是,求导得Y的密度函数,可见,Y服从0，1上的均匀分布.,本例的结论在计算机模拟中有重要的应用.,例如，想得到具有密度函数为,的随机数.,参数为的指数分布,根据前面的结论，Y=F(X)服从0,1上的均匀分布.,由于当x0时，,是严格单调的连续函数.,应如何做呢？,于是得到产生指数分布的随机数的方法如下:,给指数分布参数,令,指数随机数,例6:设分布函数F(x)为严格递增的分布函数，F-1(x)为F(x)的反函数，若XU(0，1),证明Y=F-1(X)的分布函数为F(y)。证明:设Y的分布函数为FY(y)，由分布函数的定义有FY(y)=PYy=PF-1(X)y=PXF(y)=F(y)这个结论在随机模拟中具有基本的重要性。均匀分布可通过上述方法产生分布函数为F(x)的随机变量。,
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