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第17讲等腰三角形与等边三角形,知识梳理,1.等腰三角形的性质:(1)等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的_.(2)等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“_”).(3)等腰三角形的两底角相等(简称“_”).,直线,三线合一,等边对等角,(4)等腰三角形的其他性质：等腰三角形的底角只能为_角，不能为_，但顶角可为直角(或钝角).等腰三角形的三角关系：设顶角为A，底角为B，C，则B=C=,锐,直角(或钝角),2.等腰三角形的判定：(1)有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).(2)有两条边相等的三角形是等腰三角形.3.等边三角形的性质：(1)等边三角形的三个内角_，且都等于_.(2)等边三角形底边上的高、中线及_重合(简称“三线合一”).,相等,60,顶角平分线,4.等边三角形的判定：(1)三个角都是60的三角形是等边三角形.(2)有一个角是_的等腰三角形是等边三角形.(3)三条边相等的三角形是等边三角形.,60,易错题汇总,1.等腰三角形的一个角是50，则它的底角是()A.50B.50或65C.80D.65,B,2.如图1-17-1，已知直线l1l2，将等边三角形如图放置，若=40，则等于_,20,3.如图1-17-2，MON=30，点A1，A2，A3，在射线ON上，点B1，B2，B3，在射线OM上，A1B1A2，A2B2A3，A3B3A4,均为等边三角形若OA1=1，则A6B6A7的边长为_（写出最后结果）,32,考点突破,考点一:等腰三角形的性质和判定,1.（2018年广东改编）如图1-17-3，矩形ABCD中，ABAD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE求证：DEF是等腰三角形证明：四边形ABCD是矩形，AD=BC，AB=CD由折叠的性质，得BC=CE，AB=AE，AD=CE，AE=CD在ADE和CED中，,ADECED（SSS）DEA=EDC，即DEF=EDF.EF=DF.DEF是等腰三角形,2.已知两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF，如图1-17-4，点B,D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G,C=EFB=90，E=ABC=30，AB=DE=4.求证：EGB是等腰三角形.证明：C=EFB=90，E=ABC=30，EBF=60.EBG=EBF-ABC=60-30=30=EGE=GB.EGB是等腰三角形.,考点二:等边三角形的性质和判定,3.（2018广东改编）如图1-17-5，P1（x1，y1），,P2（x2，y2），Pn（xn，yn）在函数y=(x0)的图象上，P1OA1，P2A1A2，P3A2A3，,PnAn-1An都是等边三角形，边OA1，A1A2，A2A3，,An-1An都在x轴上,则点P1的坐标为_.,4.（2017恩施）如图1-17-6，ABC，CDE均为等边三角形，连接BD，AE交于点O，BC与AE交于点P求证：AOB=60,证明：ABC和ECD都是等边三角形，AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60.ACB+BCE=DCE+BCE,即ACE=BCD.在ACE和BCD中，ACEBCD（SAS）.CAE=CBD.APC=BPO，BOP=ACP=60，即AOB=60,变式诊断,5.（2017内江）如图1-17-7，AD平分BAC，ADBD，垂足为点D，DEAC.求证：BDE是等腰三角形.证明：DEAC，CAD=EDA.AD平分BAC，BAD=CAD.BAD=EDA.ADBD，BAD+B=90，EDA+BDE=90.B=BDE.BDE是等腰三角形.,6.如图1-17-8，已知AEBC，AE平分DAC求证：AB=AC证明：AE平分DAC，1=2.AEBC，1=B，2=C.B=C.AB=AC,7.（2018广东）如图1-17-9,已知RtOAB，OAB=90，ABO=30，斜边OB=4，将RtOAB绕点O顺时针旋转60至ODC的位置，连接BC（1）填空：OBC=_；（2）连接AC，作OPAC，垂足为P，求OP的长度.,60,解：（2）OB=4，ABO=30，,BOC是等边三角形，OBC=60，ABC=ABO+OBC=90.,基础训练,8.如图1-17-10，直线mn，点A在直线m上，点B，C在直线n上，AB=CB，1=70，则BAC等于()A.40B55C70D110,C,9.（2018遵义）如图1-17-11，ABC中，点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点若CAE=16，则B为_度,37,10.一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为_cm,22,11.（2018桂林）如图1-17-12，在ABC中，A=36，AB=AC，BD平分ABC，则图中等腰三角形有_个,3,12.（2018娄底）如图1-17-13，ABC中，AB=AC，ADBC于点D，DEAB于点E，BFAC于点F，DE=3cm，求出BF的长度,综合提升,13.数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活ABC是边长为2的等边三角形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF（1）如图1-17-14，当点E在线段AC上时，EF，BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明；（2）若AE=2CE，求出CBF的面积.解：（1）ABECBF证明：ABC，BEF都是等边三角形，BA=BC，BE=BF，ABC=EBF=60.ABE=CBF.ABECBF,（2）ABECBF，SABE=SCBF.AE=2CE,14.如图1-17-15，ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB,BC,AC边上，且BE=CF，BD=CE.(1)求证：DEF是等腰三角形；(2)当A=40时，求DEF的度数；(3)点E是否存在一个合适的位置，使DEF是等腰直角三角形？若存在，求出此时E点的位置；若不存在，请说明理由.,(1)证明：AB=AC，B=C.在BDE与CEF中,BDECEF(SAS)DE=EF，即DEF是等腰三角形(2)解：由(1)知BDECEF，BDE=CEF.CEF+DEF=BDE+B,DEF=B.AB=AC，A=40,(3)解：DEF不可能是等腰直角三角形.理由：假设DEF是等腰直角三角形，由(1)知，DE=EF,DEF=90.BED+CEF=90.由(1)知，DE=EF,BDE=CEF.BED+BDE=90.B=90.而AB=AC，B=C90.DEF不可能是等腰直角三角形.,
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