教材和试题中的题目的变式设计研究.ppt

教材和试题中的题目的变式设计研究海南海口市海南华侨中学（570206）李红庆,无论是高一、二的新授课教学，还是高三复习的应试教学中对教材和试题中题目的变式教学，都是很重要的一方面它能培养学生灵活多变的思维能力，另一方面又能帮助学生从整体上把握知识的内在规律让学生也能高屋建瓴，游刃有余，驰骋在变幻莫测的考场因此，在高中数学教学中要加强教材和试题中的题目的变式教学研究本文从操作层面上谈谈教材和试题中的题目的变式设计过程当然，题目变式设计基于某些数学思想和理论基础,一、改变约定条件和改变视角设计变式题案例1：源于于人教社A版必修4第141页例4，如图32-1，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形内接矩形记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积（i）约定条件不变，改变视角设计变式题：改变圆弧内接矩形的视角可以将本题改成如下变式：已知是半径为R，圆心角为的扇形（1）如图（甲），C是扇形弧上的点，ABCD是扇形的内接矩形记，矩形的面积记为，求的最大值；（2）如图（乙），C、B是扇形弧上的两动点（），ABCD是扇形的内接矩形记，矩形ABCD的面积记为，求的最大值；（3）试比较与的大小，并说明哪种内接方式材料的利用率要高？,原题图,变式题（甲）图,变式题（乙）图,（ii）改变约定条件，从多视角设计变式图：图（甲）图（丁）图（丙）图（乙）要想在一块圆心角为()，半径为R的扇形铁板中截出一块面积最大的矩形ABCD，应怎样截取？并求出此时的矩形面积解：当时，有两种截取情形，如图（甲）和（乙）；当时，也有两种截取情形，如图（丙）和（丁）,图（甲）,图（乙）,图（丙）,图（丁）,情形1：如图（甲），设，在RtDOA中，在RtCBO中，所以，则矩形ABCD的面积即当时，矩形ABCD的最大面积为；情形2：如图（乙），矩形的边AB、CD分别与圆弧的平分线（图中虚线）平行，由情形（1）知，矩形最大的面积为，由于，则，所以，即，所以在时，矩形ABCD的最大面积为,情形3：如图（丙），由情形（1）和（2）知，矩形ABCD的面积最大值为，此时；情形4：如图（丁），设，则矩形ABCO的最大面积为当时，即时，；当时，即时，,二、对生活中一些优化问题的思考海南华侨中学有一个标准的运动场，运动场内圈的周长为400米，两条平行的两端用半圆的圆弧相连接，直线的长为100米，为什么这样设计？它的数学根据是什么呢？如图，某学校一块绿化和健身景观地带，是由矩形的绿化区和两个半圆面的健身功能区构成，该绿化和健身景观区的区域的周长为400m，当矩形的长为100m时，这样的设计非常合理，你能举出这样设计的理由吗？,解：设计理由是使绿化（矩形）区域的面积最大设矩形的长xm为，宽为d，矩形的面积为s，则，所以当且仅当x=200-x，即x=100m米时，因此，当矩形的长为100m时，绿化（矩形）区域的面积最大由此可见，绿化区的设计有内在的数学理由，当然也可能有其他理由人教社A版必修二第124页的习题B组第3题，已知M与两定点O(0,0)，A(3,0)的距离的比为1:2，求点M的轨迹方程其实它提示了圆的一个定义：动点到两定点的距离的比是一常数（不为1的正数），则动点的轨迹是圆根据本例题，设计了变式题：,“神州七号”着陆场选择在平坦而广袤的内蒙古大草原，假设在A、B两地各有一个搜救站，且两搜救站都可以独立完成打开返回舱且安全救护航天员的任务，A站是由配备大型越野救护车队组成的搜救站，B站是由救护直升机中队组成的搜救站已知A、B两地相距40km，直升机的速度是越野车的速度的3倍，指挥部选择A站、B站（假定只派出一站）前去执行任务的标准是到达着陆点的时间最短求着陆点为P时指挥部选择A站和B站去搜救时间相等，求“点P”所在的曲线的轨迹方程，并指出着陆点在曲线上、曲线内、曲线外的指挥部应如何选择搜救站（不须说明理由）？像这样的实际应用问题，与我们学生的生活现实比较贴近，从表面上谈的生活问题，但本质上看都是考查学生的基本不等式和基本概念，培养学生把在课本上所学的知识运用到解决生活中的问题，这种题集知识与趣味为一体,三、圆锥曲线的相关性的思考圆锥曲线有许多对偶的相关关系，无论在设计选择、填空题，还是解答题都要思考圆锥曲线的对偶关系，如：点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点，若，求F1PF2的面积求出这个三角形的面积要用到：余弦定理椭圆的定义式三角形面积公式正切的半角万能公式使用类似的方法也可以把椭圆改为双曲线（a0，b0）则在圆锥曲线中这样结论性对偶的相关性公式和结论是较多，在这里就不一一列举下面重点介绍对偶相关性试题改变的思路：,（1）原题：已知点A、B是抛物线上的不同的两点，O为坐标原点，若，则直线AB恒通过定点变式题：已知点A、B是抛物线上的不同的两点，O为坐标原点，设直线OA、OB的倾斜角分别为、，若，则直线AB恒通过定点联系与本质：直线OA、OB的斜率的积的绝对值等于1（2）原题：设线段是垂直于椭圆的长轴，求直线和的交点P的轨迹方程事实上，点P的轨迹方程是变式题：设线段是垂直于双曲线（a0，b0）的实轴，求直线和的交点P的轨迹方程，并就，间大小关系讨论轨迹的形状联系与本质：椭圆通过变换成，同样，双曲线（a0，b0）通过（其中i是虚单位）也变换成，这样都统一在“圆”的情形中，关于压缩与伸长和虚与实变换本文不想展开事实上，把双曲线方程写成：，则点P的轨迹方程为,四、利用圆锥曲线的通性思考的变式题圆锥曲线有很多性质都是具有普适性的我们从试卷或资料中碰见的题目可能选择某个曲线作为背景，事实上，替换背景曲线性质还是存在的，从这个角度去思考问题就会产生相应的变式题特别是设计文、理试题的差别上非常可行的而且很必要的原题：（新作题）已知椭圆：的离心率为，且经过点（）求椭圆的方程；（）是否存在经过点的直线，它与椭圆C相交于A，B两个不同点，且满足（O为坐标原点）关系的点M也在椭圆c上，如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由,解：（）由椭圆的离心率为，得a=2b，再由点在椭圆上，得，解之，所以椭圆C的方程为；（）假设直线存在，设：，联立消去y得，设，由韦达定理得，,因为点，在椭圆C上，因此，得，由得，由于点M也在椭圆C上，则，整理得，即，所以，从而得，所以，因此，直线l的方程为，即,【解析】本题除了常考查的利用根与系数的关系外，同时考查了点在曲线上，其坐标满足方程的关系式，这个问题学生很难想到的变式题：（新作题）已知圆c：(r0)经过点（）求圆c的方程；（）是否存在经过点(1,-1)的直线，它与圆c相交于A，B两个不同点，且满足（O为坐标原点）关系的点也在圆c上，如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由解：（）由圆c：，再由点在圆c上，得所以圆c的方程为；（）假设直线存在，设：，联立消去y得，设，由韦达定理得，,，因为点,，在圆c上，因此，得，由得，由于点M也在圆c上，则，整理得，+，即，所以+，从而得，即k=1，因此，直线为y-1=x+1，也就是：x-y+2=0,五、利用教材透露的信息思考的变式题高考命题的教师不仅是命题高手，而且是搜索能手，他们关注着各地的试题走向，更关注着教材透露的可利用的信息，近几年高考立体几何开始变脸了，考查数学思想方法与方程的试题在增加，考查求未知点、未知数的试题在2008年各省、市的高考试题中已经淋漓尽致地体现出来原题：人教社A版选修2-1第107页的例3，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500kg，在它的顶点处分别受力，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是60，且，这块钢板在这些力的作用下将怎样运动？这三个力是多少时，才能提起这块钢板？,变式题：已知点S是平面ABC外一点，ABC=60，AB=BC=1，BS=2，且cosSCA=cossbc=，求点S到平面ABC的距离解析：取AC的中点O，则，建立如图所示空间直角坐标系o-xyz，得，则，设（），所以，则，解之，代入得，因此，因平面ABCz轴，则平面ABC的法向量，点S到平面ABC的距离是,六、用长期修炼的理论功底来支撑变式题设计以定点为中点的圆锥曲线的弦所在的直线方程，过定点圆锥曲线的弦的中点轨迹方程，以定点为切点的圆锥曲线的切线方程，定点的切点弦的方程其本质都是同一性质的不同体现形式利用这些理论来支撑可以设计许多变式题设圆锥曲线的方程为，设点是曲线上一点，过点T的切线的方向向量为，则，这是圆锥曲线具有独特性质.（i）动直线经过点，被圆锥曲线所截的动弦AB，求线段AB的中点轨迹方程过点M作与圆锥曲线相似的曲线，则，化简即为，而所以点轨迹方为，；,（ii）圆锥曲线的弦AB的中点为，求直线AB上的任意点的轨迹方程对方程利用替换，即，即可得点的轨迹方程为；（iii）以为切点的的切线方程，将点P向边沿移动时，即时，即得到以为切点的切线方程为；（iv）切点弦的方程，设是圆锥曲线“外”一点，自点向圆锥曲线引两切线PA、PB（、为切点），以点为切点的切线方程是，因为点在直线上，则,式等价写成，式说明了点在直线，上，同理点也在直线上，所以切点弦的方程为原题：如图，射线OP的端点O为定圆的圆心，过点P向圆引两切线PA、PB（A、B为垂足），点Q是线段OP上一点，过Q点向圆引两切线QC、QD（C、D为垂足）求证：ABCD,，,变式题：平面直角坐标系中，已知两个定点A(-1,1)、B(4,1)，动点M满足（O为坐标原点），其中（1）求动点M的轨迹方程；（2）设点M的轨迹为曲线C，点P是射线上（非端点）任一点，由P向曲线C引两切线为PQ、PT（Q、T为切点）求证：无论P在何处，直线QT的斜率为常数结束语：高考数学试题是由命题行家命制的，他们不仅是命题高手，也是解题行家，他们知道题的来龙去脉，把握着题的走向，也熟知教材与各地试题选用内容，作为重点中学的教师加强对变式题的研究，把握高考考试的风向，运用各种方法设计变式题，做到未雨绸缪才能决胜变幻莫测的考场,