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面向数学专业拔尖创新人才培养改革高等代数教学方法与考评方式,上海大学数学系,王卿文,2011年11月13日,Email:wqw,交流要点,以创设问题情境来激发学生对高等代数学习的兴趣以展示数学思维过程来促进学生的思维发展以重视数学思想的传授来激发学生的创新动机和培养创新精神,以发散思维，实现数学再“创造”来培养学生的创新能力以研究性、探索性和开放性课题为课外作业来锻炼学生的自学和科研能力以灵活多样的考评方式来加大学生掌握高等代数精髓的动力,背景,大学的根本任务是培养学生的创新能力。大学的创新教育目标定位于创新人才的全面发展及其创新精神和创新能力的培养和提高上。数学专业的大学生在整个学习过程中需要培养八种数学能力和五种数学素养。,背景,八种数学能力：分析的能力归纳的能力抽象的能力空间想象的能力演绎推理的能力准确计算的能力运用数学软件的能力学习新数学知识的能力,背景,五种数学素养：主动寻求并善于抓住数学问题的背景和本质的素养具有良好的科学态度和创新精神合理地提出新思想、新概念、新方法的素养对各种问题以“数学方式”的理性思维，从多角度探寻解决问题的方法的素养善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型的素养。,背景,高等代数作为数学专业的最重要的基础课之一，对于学生数学能力和数学素养的培养起着关键性的作用。高等代数的内容不仅是学生学习后继课程不可缺少的基础知识，而且较多地体现着数学的高度抽象、严密的逻辑推理和科学计算；高等代数的理论和方法是基础数学和应用数学的重要基础，在科学研究和各行各业中有广泛的应用。,背景,高等代数的基本内容是以矩阵为工具，研究向量空间。高等代数最大的难点就是高度抽象。高等代数是学生从具体的数学到抽象公理化的数学的一个重要过渡，一个必须通过的难关。既让学生学起来感觉容易又在学习中培养了学生的数学能力和数学素养是高等代数课程教学工作中所要解决的核心问题。解决这一问题的关键就是教师要高屋建瓴，将复杂的内容，抓住实质，讲得明白易懂，使学生对所学内容感兴趣，理解关键的内容、核心的思想，并通过严格的训练使其真正学到手。,高等代数教学方法和考评方式的改革与实践,一、以创设问题情境来激发学生对高等代数学习的兴趣数学问题情境就是含有相关数学知识和数学思想的情境，同时也是数学知识产生的背景。一个好的问题情境应具有数学的实际应用价值和数学自身的魅力，从而能激发学生从事数学创新的动机。数学问题情境的创设，其素材可以源于生活，源于数学自身，还可以源于其它相关学科。通过给学生呈现刺激性的数学材料信息，激发学生好奇心和发现欲，使学生从中发现和提出问题，进而分析问题和解决问题。,高等代数教学方法和考评方式的改革与实践,1,校正卫星的运行位置,3,计算机图形学中的图形变换,分块矩阵,矩阵乘法运算,2,多波段图像处理,实对称矩阵,4,传染病和物种群展发趋势,特征值特征向量,5,信息编码和解码,逆矩阵,6,行星轨道计算,线性方程组的求解,创设数学问题情境实例,高等代数教学方法和考评方式的改革与实践,二、以展示数学思维过程来促进学生的思维发展教科书是经过逻辑加工的、完成了的数学形式，是一个严格的演绎体系，看不到思维过程，只看到完整的结论和顺理成章的严格证明。我们在高等代数的教学中，努力向学生展示围绕这些问题进行分析和思考，从分析问题的过程中寻找解决问题的方法，尽可能地把数学原理、定理和方法的发现过程传授给学生，启发学生去发现和思考；甚至在课堂教学中，展示尝试错误思维的过程，充分暴露教师的思维过程，以此来指导、调节、影响学生利用数学思维的活动规律去发展自我。,高等代数教学方法和考评方式的改革与实践,展示数学思维过程的实例-矩阵的对角化问题提出问题科学的根本任务是化繁为简，矩阵的简单形式是对角形。相似变换是一类重要的变换，我们通过相似变换如何将一个方阵化为对角形（即对角化）。,高等代数教学方法和考评方式的改革与实践,上述问题的数学表示,进一步分析并解决问题,高等代数教学方法和考评方式的改革与实践,定义新概念,得出新结论，产生新问题,高等代数教学方法和考评方式的改革与实践,三、以重视数学思想的传授来激发学生的创新动机和培养创新精神培养创新精神，必须激发学生创新动机。创新首先是思想的突破。我们的做法如下：备课时牢牢抓住教材体系中蕴含的数学思想，并以此作为教学设计的指导思想。教学时敏锐地发现并抓住学生的思想火花加以提升，鼓励学生创新，通过激发学生从事数学活动的创新动机，引导更多的学生参与课堂教学活动。在教学中，将教学内容自始至终突出矩阵分块思想、标准单位向量思想、初等变换思想、升阶与降阶思想、矩阵特征值思想、矩阵的各种等价标准形（矩阵分解）思想、线性子空间思想、同构转化思想以及将奇异阵转化为非奇异阵等核心思想。,高等代数教学方法和考评方式的改革与实践,初等变换思想初等变换是高等代数中分析问题、解决问题的一种非常重要的思想方法，它贯穿于高等代数理论的始终，应用初等变换证明命题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。我们可利用初等变换计算行列式的值、求多项式的最大公因式、求逆阵、解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量组的线性相关性、求向量组的极大无关组与秩、化二次型为标准形、求特征子空间、生成子空间、正交补空间等的基、求线性变换的值域与核等等。这种思想方法的实质是将问题化繁为简，化抽象为具体，并且保持事物的某些本质特征不变。因此，伴随着教学内容的深入与延展，将其思想内涵及时地加以展现、丰富，不仅可以使学生把握知识学习的脉络，还可以体会到不同事物的内在关系。,高等代数教学方法和考评方式的改革与实践,四、以发散思维，实现数学再“创造”来培养学生的创新能力。在课堂教学中，在学生认真思考的基础上，适时地给学生以巧妙地启发、点拨，让他们自己对数学知识做出更高层次的概括，得出一般性的结论，产生认识上的飞跃，实现数学“再创造”。,高等代数教学方法和考评方式的改革与实践,教师创造合适的条件，提供具体的例子，让学生在实践的过程中，“再创造”出各种运算法则，或是发现有关的各种概念、定律；学生在学习数学的过程中，都可以根据自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识。教师通过适当的启发，引导学生加强反思，使学生的创造活动由不自觉或盲目的状态，发展为有意识、有目的的创造活动。在整个过程中，学生应该始终积极参与这个活动，感觉到创造的需要，才有可能进行“再创造”。教师应为学生提供广阔的天地，听任各种不同思维、不同方法自由发展。,高等代数教学方法和考评方式的改革与实践,实例-线性空间的定义讲解,高等代数教学方法和考评方式的改革与实践,高等代数教学方法和考评方式的改革与实践,五、以研究性、探索性和开放性课题为课外作业来锻炼学生的自学和科研能力。研究性、探索性和开放性课题的课外作业主要包括如下几个部分：探索性的专题讨论。如线性相关性、等价关系等专题探索与课堂讨论，以此来调动学生的主动性；总结性的专题报告。每章课程结束时布置专题总结，拓展的大作业，以此来训练学生的查阅资料和归纳总结的能力；,高等代数教学方法和考评方式的改革与实践,攻关性的难题求解。每次作业有一道“攻关题”，目的是让学生享受理解和应用数学思想和方法的乐趣，提高创新能力；在短学期开设高等代数有关的最新研究成果的主题讲座和相关的数学软件课程。如MATLAB软件，以线性代数作为学习MATLAB的切入点，不仅能很好地学习MATLAB软件，而且能进一步巩固线性代数的基本知识和基本方法。挑选优秀本科生提前进入教师的研究小组，开展适当的科学研究。在我的研究小组中，有的本科生还发表了SCI论文。,高等代数教学方法和考评方式的改革与实践,六、以灵活多样的考评方式来加大学生掌握高等代数精髓的动力。考评目的是督促和检查学生是否真正掌握了所学的核心知识及其应用能力。经过多年的实践，我们形成了如下的四种考评方式及其有机结合：传统的考试；水平考试，考试成绩分优、良、中、合格、不合格五个等级；半开卷考试，允许学生带一张规定大小的纸,每个学生可在纸的正反两面写满自己认为最重要的公式定理或知识要点或典型例题、习题；学生的小论文和利用MATLAB等软件上机进行解决实际问题的测试。,谢谢大家！不当之处请批评指正！,
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