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第六章圆,第22讲圆的基本性质,考点1圆的有关概念与圆的对称性,1圆的有关概念(1)圆：圆是到定点的距离等于定长的点的集合；这个叫做圆心，这个叫做半径；圆心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小(2)弧：圆上任意两点间的部分叫做弦；小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧(3)弦：连接圆上两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最大的弦(4)圆心角：顶点在的角叫做圆心角(5)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角(6)等圆：半径的圆叫做等圆(7)等弧：在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧(8)弦心距：圆心到弦的叫做弦心距,定点,定长,圆心,相等,距离,2圆的基本性质(1)同圆或等圆的半径(2)圆的直径等于同圆或等圆半径的倍(3)圆既是中心对称图形，圆心是对称中心，也是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴，还是旋转对称图形，绕圆心旋转任何一个角度都与原图形重合,3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等(2)推论：在同圆或等圆中，圆心角相等，弦相等，弦的弦心距相等，弦对的弧相等，如果以上四条中有一条成立，那么另外三条也成立,4垂径定理(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧(2)垂径定理的推论：a圆的两条平行弦所夹的弧相等b一条直线如果具有：经过圆心，垂直于弦，平分弦，平分弦所对的弧这四条中有两条成立，则这条直线也满足其余的两条,相等,2,考点2圆周角定理及推论,1圆周角定理(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的(2)圆周角定理和推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径、所对的弧是半圆,2圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(相邻的内角的对角),点拨“圆的有关性质”常作为辅助线：有弦时，过圆心作弦的垂线段，过弦的一个端点作半径，这样由“弦的一半、表示弦心距的垂线段、圆的半径”构成了直角三角形有直径时，作出这条直径所对的圆周角，这个圆周角是直角；如果有圆周角是直角，作出它所对的弦，这条弦就是直径,归纳垂径定理及其推论是证明两线段相等，两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形,一半,互补,命题点圆周角定理及推论,命题趋势圆的基本性质是安徽中考重点，命题角度：1.综合利用垂径定理，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形性质、全等或相似三角形的判定和性质、勾股定理等来进行有关圆的半径和弦的计算.2.综合运用圆周角定理及其推论、三角形内角和定理、平行四边形的性质及平行线的性质进行与圆有关的角度的计算预测2019年将会考查有关圆的基本性质应用的解答题,12016安徽，T10，4分如图，,RtABC中，ABBC，AB6，BC4.P是ABC内部的一个动点，且满足PABPBC.则线段CP长的最小值为()A.B2C.D.,B,22018安徽，T20，10分如图，O为锐角ABC的外接圆，半径为5.(1)用尺规作图作出BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E；(保留作图痕迹，不写作法)(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长,规范解答：,(1)如图，AE为所作(4分)(2)如图，连接OE交BC于点F，连接OC，EC.AE平分BAC，BAECAE，BECE，OEBC.EF3，OF532.在RtOCF中，CF.在RtCEF中，CE.(10分),32017安徽，T20，10分如图，在四边形ABCD中，ADBC，BD，AD不平行于BC，过点C作CEAD交ABC的外接圆O于点E，连接AE.,(1)求证：四边形AECD为平行四边形；,(2)连接CO，求证：CO平分BCE.,解：(1)证明：根据圆周角定理知EB.又BD，ED.ADCE，DDCE180.EDCE180.AEDC.四边形AECD为平行四边形,(2)证明：如图，连接OE，OB.,由(1)，得四边形AECD为平行四边形，ADEC.ADBC，ECBC.OCOC，OEOB，OCEOCB(SSS)ECOBCO，即CO平分BCE.,42014安徽，T19，10分如图，在O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与O的交点若OE4，OF6，求O的半径和CD的长,解：OC为小圆的直径，OFC90，即OFCD.CFDF.又OEAB，OEFOFC90.FOECOF，OEFOFC.OC9.在RtOFC中，CF，CD2CF.,类型1垂径定理,解题要领一般思维模式是作弦心距、连半径等辅助线，构造直角三角形，利用垂径定理以及勾股定理求弦长、半径、弦心距或弓高(这四个数量中，已知两个数量求另两个数量),12018安顺已知O的直径CD10cm，AB是O的弦，ABCD，垂足为M，且AB8cm，则AC的长为()A2cmB4cmC2cm或4cmD2cm或4cm,C,2.2018衢州如图，AC是O的直径，弦BDAO于E，连接BC，过点O作OFBC于F，若BD8cm，AE2cm，则OF的长度是(),A3cmB.cmC2.5cmD.cm,32018孝感已知O的半径为10cm，AB，CD是O的两条弦，ABCD，AB16cm，CD12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm.,D,2或14,类型2圆心角、弧、弦之间的关系,4如图，在O中，A，C，D，B是O上四点，OC，OD分别交AB于点E，F，且AEBF.下列结论不正确的是()AOEOFB.ACBDCACCDDBDCDAB,解题要领圆心角、弧、弦之间的关系定理，提供了从圆心角到弧到弦的转化方式，为证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路，解题时要根据具体条件灵活选择应用,52018双清模拟如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是AF的三等分点(AGGF)，BG交AF于点H，若AB的度数为30，则GHF等于(),A40B45C55D80,C,A,类型3圆周角定理,6.2018陕西如图，ABC是O的内接三角形，ABAC，BCA65，作CDAB，并与O相交于点D，连接BD，则DBC的大小为()A15B35C25D45,解题要领在同圆中，注意运用圆心角、圆周角、弦、弧等量关系的转化；圆的直径与直径所对的圆周角为直角的转化；如果题干中无对应图形时，避免遗漏符合条件的图形的其他情形,A,72018威海如图，O的半径为5，AB为弦，点C为AB的中点，若ABC30，则弦AB的长为()A.B5C.D,82018白银如图，A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，点B是x轴下方A上的一点，连接BO，BD，则OBD的度数是()A15B30C45D60,D,B,类型4圆的确定,9.2018烟台如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为,解题要领三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心，即三角形外接圆的圆心；三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等；确定三角形的外心，只需作三角形两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为三角形的外心,(1，2),102018内江已知ABC的三边a，b，c，满足ab2|c6|2810b，则ABC的外接圆半径,类型5圆内接四边形的性质,11.2018邵阳如图所示，四边形ABCD为O的内接四边形，BCD120，则BOD的大小是()A80B120C100D90,解题要领圆内接四边形经常与圆周角定理结合考查，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半,B,122018济宁如图，点B，C，D在O上，若BCD130，则BOD的度数是()A50B60C80D100,132019预测如图，四边形ABCD内接于O，F是CD上一点，且DFBC，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若ABC105，BAC25，则E的度数为,D,50,类型6圆的最值问题,142018安徽四模如图，AB是O的一条弦，点C是O上一动点，且ACB30，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与O交于G，H两点，若O的半径为6，则GEFH的最大值为()A6B9C10D12,152018宜宾在ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2AC22AO22BO2成立依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE4，EF3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2PG2的最小值为()A.B.C34D10,D,B,类型7与圆的基本性质相关的探究问题,162019预测如图，点B，C为O上两动点，过点B作BEAC，交O于点E，点D为射线BC上一动点，且AC平分BAD，连接CE.(1)求证：ADEC；,解：(1)证明：AC平分BAD，BACDAC.EBAC，EDAC.BEAC，EACE，ACEDAC，ADEC.,(2)当四边形EBCA是矩形时，ACB90，即ACBD.ACBACD90.BACDAC，ABDD，ABAD.又ACBD，BCCD6.故答案为：6.,(2)连接EA，若BC6，则当CD_时，四边形EBCA是矩形,17如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径COAO，点M是AB上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连接OM与CM.(1)若半圆的半径为10.当AOM60时，求DM的长；当AM12时，求DM的长,解：(1)当AOM60时，OMOA，AMO是等边三角形，AMOA60，MOD30，D30，MODD.DMOM10.,如图，过点M作MFOA于点F，设AFx，OF10x.,AM12，OAOM10，由勾股定理，知122x2102(10x)2，x，AF.MFOA，DOOA，MFOD，即，AD，MDADAM.,(2)是定值当点M位于AC之间时，连接BC，如图C是AB的中点，B45.四边形AMCB是圆内接四边形，CMDB45.当点M位于BC之间时，连接BC，如备用图，由圆周角定理可知CMDB45.综上所述，在点M运动的过程中，CMD的度数是定值，CMD45.,(2)探究：在点M运动的过程中，CMD的度数是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由,
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