弯曲应力与强度设计.ppt

第六章弯曲应力与强度设计,本章重点1、弯曲正应力及强度计算2、弯曲剪应力及强度计算3、两相互垂直平面内的弯曲4、提高梁弯曲强度的措施,6-1弯曲正应力及其强度条件,一、弯曲正应力,工程中以弯曲变形为主的杆件称为,梁,纵向对称面：梁的轴线与横截面的对称轴所构成的平面,对称弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。,纯弯曲,纯弯曲：,横力弯曲：,在横截面上，只有法向内力元素dFN=dA才能合成弯矩M，只有切向内力元素d=dA才能合成剪力,纯弯曲时梁横截面上的正应力,从三方面考虑：,变形几何关系,物理关系,静力学关系,1、变形几何关系,(1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长(2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为弧线的aa，bb垂直(3)部分纵向线段缩短，另一部分纵向线段伸长。梁在纯弯曲时的平面假设：梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。,观察到以下变形现象:,再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。,推论：梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴,中性层,中性轴,中性层,2、物理关系,正应力与它到中性层的距离成正比，中性层上的正应力为零(中性层y=0),上式只能用于定性分析，而不能用于定量计算：,1）由于中性轴z的位置未确定，故y无法标定；,2）式中未知.（若已知M，与M有何关系？）,3、静力学关系,设中性轴为z,令：,由于y为对称轴,上式自然满足。,正应力计算公式：,中性轴过截面形心,中性层的曲率公式：,1）沿y轴线性分布，同一坐标y处，正应力相等。中性轴上正应力为零。,2）中性轴将截面分为受拉、受压两个区域。,3）最大正应力发生在距中性轴最远处。,当中性轴是横截面的对称轴时：,横截面上的最大正应力：,Wz:抗弯截面模量,公式适用条件：1）符合平面弯曲条件(平面假设，横截面具有一对称轴）2）p(材料服从胡克定律）,对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨高比大于5时，剪应力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不计。因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可以应用于横力弯曲的梁中，误差不超过1%。,横力弯曲时，弯矩不再是常量。,圆环：,复习,Z,b,h,Z,Z,dD,d,例1：图示工字形截面外伸梁受均布荷载作用，试求当最大正应力为最小时的支座位置。,a,l,a,q,解：作弯矩图,支座位置a直接影响支座截面和跨中截面上的弯矩值。当中性轴为截面的对称轴，最大拉、压应力相等时，只有支座处截面与跨中截面之弯矩的绝对值相等，才能使该梁的最大弯矩的绝对值为最小，从而使其最大正应力为最小。,取有效值,二、梁的正应力强度条件,强度条件：,等直梁强度条件,对于铸铁等脆性材料，抗拉和抗压能力不同，所以有许用弯曲拉应力和许用弯曲压应力两个数值。强度条件为：,请注意：梁的最大工作拉应力和最大工作压应力有时并不发生在同一截面上。,一般情况下，许用弯曲正应力比许用拉(压)应力略高。因为弯曲时除截面外边缘达到最大正应力外，其余各处应力较小。而轴向拉(压)时，截面上的应力是均匀分布的。,利用强度条件可以进行三方面的强度计算：1、已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度。2、已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸。3、已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷。,例2：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比P1P2？,解：,例3：主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度a为多少？,A,B,P,a,C,D,主梁AB,副梁CD,M,M,解：,主梁AB的最大弯矩,副梁CD的最大弯矩,由,得,例4：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为+和-，则y1和y2的最佳比值为多少?(为截面形心),解：,例5：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力=160MPa，校核该梁的强度。,解：由弯矩图可见,该梁满足强度条件，安全,例6：图示铸铁梁，许用拉应力+=30MPa，许用压应力-=60MPa,z=7.6310-6m4，试校核此梁的强度。,C截面：,B截面：,满足强度要求,本题,和,可不必计算,为什么？,例7：简支梁受均布荷载，在其截面的下边缘贴一应变片，已知材料的E=200GPa，试问该应变片所测得的应变值应为多大？,解：,C截面下边缘的应力,C截面的弯矩,应变值,=75,例8：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为10mm，E=10GPa，求载荷P的大小。,解：,例9：我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。,（使Wz最大）,解：,由此得,3:2,例10:跨长l=2m的铸铁梁受力如图示,已知材料许用拉、压应力分别为,和,试根据截面最为合理的要求，确定T形梁横截面的一个参数，并校核此梁的强度。,解：设z轴过形心,最为合理时,=24mm,梁满足强度要求,还需校核最大工作压应力吗？,例11:图示悬臂梁在自由端受集中力作用,P=20kN。试在下列三种截面形状下，比较所耗材料：(1)高宽比h/b=2的矩形；(2)圆形；(3)工字钢。,P=20kN,解:作弯矩图,由强度条件,(1)矩形,b=6cmh=12cm,(2)圆形,d11.3cm,(3)工字形,查型钢表，取16号工字钢,工字形截面最省料，圆形截面最费料。你知道为什么吗？,合理选择截面形状是梁设计中的一个重要问题本题中，工字形截面的弯曲截面系数略小于临界值，其最大工作应力将略大于许用应力，但不超过5%，这在工程中是允许的。,例12：一槽形截面铸铁梁，试求梁的许可荷载,已知b=2m,解:求出中性轴位置作弯矩图,Fb/2,Fb/4,分析可知，不论截面B或截面C，梁的强度均由最大拉应力控制,6-2弯曲剪应力及其强度条件,一、梁横截面上的剪应力,横截面上的剪力，由截面法求得,截面对中性轴的惯性矩,b,截面宽度,过所求点作中性轴平行线，,平行线以上或以下部分对中性轴的静矩,A,对于短跨、截面高的梁须计算弯曲剪应力,1、矩形截面梁的剪应力,在hb的情况下,y,y,弯曲剪应力计算公式,腹板,翼缘,在腹板上：,2、工字形截面梁的剪应力,在翼缘上，有平行于剪力的剪应力分量，分布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。,腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面上的大部分弯矩。,在翼缘上，还有垂直于剪力方向的剪应力分量，它与腹板上的剪应力比较，一般来说也是次要的。,对于标准工字钢梁：,最大剪应力：,3、圆截面梁的剪应力,中性轴上：,二、弯曲剪应力强度条件,等直梁：,注意：,例13：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力=160MPa，=100MPa，试求最小直径dmin。,解:,跨中截面弯矩最大，支座附近截面剪力最大,由正应力强度条件：,由剪应力强度条件：,例14：简易起重设备，起重量P=30kN，跨长l=5m，吊车大梁AB由20a号工字钢制成，试校核梁的强度。,解:,査表,当荷载移至跨中时：,当荷载移至支座附件时：,梁的强度符合要求,例15：上例吊车大梁，起重量增至P=50kN，跨长l=5m，梁AB中段用横截面为120mm10mm而长度为2.2m的钢板加强。校核梁的强度。,解:,査表:20a工字钢,组合截面惯性矩：,当荷载移至跨中时：,剪应力请自行校核！,还需校核变截面处!,当荷载移至变截面处时，对变截面最不利,为什么？,梁的强度不符合要求,怎么办？,加强板加长！,加长多少？,6-3两相互垂直平面内的弯曲,由力作用的独立性原理出发，在线弹性范围内，可以假设作用在体系上的诸载荷中的任一个所引起的变形对其它载荷作用的影响忽略不计。,实验表明，在小变形情况下这个原理是足够精确的。因此，可先分别计算每一种基本变形情况下的应力和变形，然后采用叠加原理计算所有载荷对弹性体系所引起的总应力和总变形。,研究步骤:,1、简化荷载：用静力等效的荷载，使每一组力只引起一种基本变形。,2、按基本变形求解每组荷载作用下的应力、位移。,3、按叠加原理叠加求出组合变形的解。,两相互垂直平面内的弯曲,应力计算中性轴的位置,斜弯曲荷载不作用在构件的纵向对称面内，梁的轴线变形后不在位于外力所在平面内。,矩形截面梁的斜弯曲,C,l,X,x,y,z,P,1、简化外力：,x,y,z,x,y,z,2、按基本变形求各自应力：,C点总应力：,确定中性轴的位置,故中性轴的方程为,设中性轴上某一点的坐标为y0、z0，则由中性轴上,中性轴是一条通过截面形心的直线,中性轴,为中性轴与y轴夹角,y,z,z,P,中性轴,4）若截面为曲线周边时，可作/于中性轴之切线，切点为,y,z,1）危险截面：当x=0时，,同时取最大,故固定端处为危险面,2）危险点：危险面上,点,强度计算式：,强度计算,对于周边具有棱角的截面，如矩形和工字形截面，最大拉、压应力必然发生在截面的棱角处。可直接根据梁的变形情况，确定截面上的最大拉、压应力所在位置，无需确定中性轴位置。,例16：矩形截面木梁跨长l=3.6m,截面尺寸h/b=3/2,分布荷载集度q=0.96kN/m,试设计该梁的截面尺寸。许用应力,q,h,b,z,y,解:跨中为危险截面,h/b=3/2,b=0.0876m,h=0.131m,可选b=90mm,h=135mm,请注意计算单位！,您知道危险点在何处吗？,请自学！,6-4非对称弯曲正应力,6-5弯曲中心,请自学！,6-6提高梁弯曲强度的措施,控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力,作为梁设计的主要依据。因此应使Mmax尽可能地小，使WZ尽可能地大。,以,一、合理选择梁的截面,合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模量较大。,W大的同时，A要较小。,0.31h,1、对于+=-的材料，可用以中性轴为对称轴的截面，使截面上、下边缘,2、对于+-的材料，如铸铁+-，宜用中性轴偏于受拉边的截面。,二、合理安排梁的受力情况,三、合理选择梁的外形采用变截面梁、等强度梁,梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用应力时，称为等强度梁。,注意“加工性”,例17、矩形截面梁，跨中C处受集中力P,设截面高h为常数，宽度b可变化，b=b(x),求b(x)。,l,P,A,B,解：由对称性，研究一半梁AC,C,x,由等强度条件：,b(x),考虑到剪切强度条件：,对于矩形截面：,b(x)min,同理：若b为常量，高度h=h(x),l,P,A,B,C,x,按抛物线变化,考虑到剪切强度条件：,P,N,N,鱼腹梁,