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1.4角平分线,第一章三角形的证明,第2课时三角形三条内角的平分线,1会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.(重点）2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力(难点）,学习目标,在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？,导入新课,情境引入,活动1分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？,发现：三角形的三条角平分线相交于一点.,讲授新课,活动2分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？,发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.,你能证明这个结论吗？,剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流,结论：三角形三个角的平分线相交于一点.,试一试,点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：,试试看，你会写出证明过程吗？,D,E,I,G,已知：如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.,证明结论,证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.,BM是ABC的角平分线，点P在BM上，PD=PE.同理PE=PF.PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.,D,E,F,想一想：点P在A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？,点P在A的平分线上.,结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.,D,E,F,例1.如图,在ABC中,已知AC=BC,C=90,AD是ABC的角平分线,DEAB,垂足为E.(1)如果CD=4cm,AC的长;,（1）解：AD是ABC的角平分线,DEAB,垂足为E，DE=CD=4cm.AC=BC,B=BAC.C=90,B=45.BE=DE.在等腰直角三角形BDE中，,(2)求证:AB=AC+CD.,（2）证明：由（1）的求解过程易知，RtACDRtAED(HL).AC=AE.BE=DE=CD,AB=AE+BE=AC+CD.,E,O,例2：如图，在直角ABC中，AC=BC,C90，AP平分BAC，BD平分ABC;AP,BD交于点O，过点O作OMAC,若OM4,(1)求点O到ABC三边的距离和.,温馨提示：不存在垂线段构造应用,12,解：连接OC,(2)若ABC的周长为32，求ABC的面积.,例3如图，在ABC中，点O是ABC内一点，且点O到ABC三边的距离相等若A40，则BOC的度数为(),A110B120C130D140,A,解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有CBOABOABC，BCOACOACB，ABCACB18040140，OBCOCB70，BOC18070110.,当堂练习,1.如图，已知ABC，求作一点P，使P到A的两边的距离相等，且PAPB下列确定P点的方法正确的是（）A.P为A，B两角平分线的交点B.P为A的平分线与AB的垂直平分线的交点C.P为AC，AB两边上的高的交点D.P为AC，AB两边的垂直平分线的交点,B,【解析】点P到A的两边的距离相等，P在A的角平分线上，PAPB，点P在AB的垂直平分线上.P为A的平分线与AB的垂直平分线的交点.,2.如图,ABC中,C=90,DEAB,CBE=ABE,且AC=6cm,那么线段BE是ABC的，AE+DE=.,C,角平分线,6cm,3.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A.ABC的三条中线的交点B.ABC三边的中垂线的交点C.ABC三条角平分线的交点D.ABC三条高所在直线的交点,C,4.已知：如图，ABC中，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB于E，F在AC上,BD=DF.求证：CF=EB.,证明：AD平分CAB,DEAB，C90（已知）,CDDE(角平分线的性质).在RtCDF和RtEDB中,CD=ED（已证）,DF=DB（已知）,RtCDFRtEDB(HL).CF=EB（全等三角形的对应边相等）.,C,拓展思维,5.如图,直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可选择的地址有几处?画出它的位置.,P1,P2,P3,P4,l1,l2,l3,三角形内角平分线的性质,性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等,课堂小结,应用：位置的选择问题.,
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