培养数学建模思想完善建模培训方法卢鹏.ppt

培养数学建模思想，,完善建模培训方法,报告人：卢鹏,西南交通大学峨眉校区基础课部,如何培养数学建模思想？如何完善建模培训方法？“教师”与“教练”,他们激发客户自身寻求解决办法和对策的,能力；,教练的职责是提供支持，以增强客户已有,的技能，资源和创造力；,国际教练联盟定义教练：,教练不是顾问，并不是某个领域的专家，,不提供解决问题的方案，而是支持你自己去发现属于自己的最适合的答案；,教练不是老师，甚至不比你懂得更多，并,不灌输概念和知识，但他能支持你发掘自己的潜力和智慧；,教练不是知识训练或者技巧训练，而是一,种拓展信念与视野的能力和习惯的培养；,采用形式多样的教学方式，自始自终启发数学建模思想,问题：树上有10只鸟，猎人开枪,打死了1只，树上还剩几只？,答案：,10-1=9,树上没有鸟，开枪后鸟受惊都飞走了,这样的回答是在什么条件下得到的？,是无声手枪，还是其它没有声音的枪？,枪声有多大？能否使得鸟受惊？,有没有残疾（比如鸟里有没有聋子？）或,饿得飞不动的鸟？,有没有鸟智力有问题？呆傻到听到枪响不,知道飞的？,有没有关在笼子里的？,边上还有没有其它的树？树上还有没有其,它鸟？,它们受到吓起飞时，会不会惊慌失措而互,相撞上受伤飞不走的？,可能的结论：在上面的情况都不存在的情况下,打死的鸟要是挂在树上没掉下来，那么就剩1只；如果掉下来，就1只不剩！,启发,改变固有的思维习惯，养成爱思考、善于,思考的习惯；,希望能理解哪怕对一个很小的问题的认,识，也是在其具有的条件下得到的结论。,完善数学建模的培训方式，形成自己风格的教学特色,如何让学生更容易掌握各种数学建模方法？,运用已知物理定律,面对一个实际问题，你首先应想一想，你所考虑的问题是否遵循什么规律或物理定律，建立微分方程模型时应用已知物理定律，可起到事半功倍的作用在建模案例的挑选上，尽量从问题背景简单，容易入手的题目开始，着重让学生了解建模的一般过程，然后再由浅入深。,一、微分方程建模,问题,一名律师为其当事人辩护需要建立一个数学模型他的当事人被控嫌疑谋杀，人们怀疑他曾为了逃避追捕从一个很高的窗户跳下来辩护律师力图申辩的是：人的腿是虚弱的，如果他从那扇窗户跳下来，就可能受伤,建立数学模型是为了估计他着地时的速度，从而判断他能否当即站起来并逃走,首先弄清楚问题的实质，也就是要解决什么？,问题表述：问题可明确为“如果一个人从一个,特定的高度下落，他触地时的速度是多少?”,研究一个物体下落问题！,这个问题还需要做进一步的分析，我们首先要针对人体下落的情况对一些问题做出判断：人体的下落是自由下落，还是需要考虑空气阻力?,身体的尺寸对下落有影响吗?,如果空气阻力是重要的因素，在我们的模型中如何评估它？,dx,dt,假设该运动是垂直下落，则是一个一维的问题应用牛顿运动定律(以竖直向下为正向)，得到,（）,dvdx,mgR=m,=mv,2,2,这是我们建立的初步模型，还必须确定空,气阻力R,在人们的运动体验中，无论是跑步、骑车、甚至于走路都会普遍感觉到空气阻力的影响，直觉R不依赖于距离和时间，但却依赖于速度，你运动得越快，受到的阻力越大所以我们假定空气阻力及正比于速度v，即将空气的阻力表示为Rkv,mgkv=mv,也可以将R及与v的关系式假设成更复杂的形式，比如,或更一般地，,如果取一般表达式，方程(）为：,（）,2n,R=kvR=kv,dvdx,n,现在的问题是如何确定n的值，确定依赖于质量m的参数k的值?这对于求模型的解至关重要可以做多种尝试，我们将利用从力学书中得到的结论：,(1)对于小而坚实的物体，例如一块小石头，空气阻力直接和速度成正比，即有n=1；,(2)对于一些较为庞大的物体，如人体，空气阻力和速度的平方成正比，即n=2,对于律师所建立的人体下落模型，取n=2,较合理,gkv=v,g0.00341v=v,接下来就是要确定模型中的参数k查找力学书本可利用“极限速度”的概念人体下降处于极限速度状态时，加速度为零(引力与空气阻力平衡)，意味着微分方程,最终得到关于人体从窗户坠落问题的数学模型是一个一阶微分方程,2,dvdx,=0,dvdx,2,律师的辩护合情合理，但嫌疑人是否真的无罪呢?,这里忽略了什么东西？,落地处的性质：是硬地还是柔软的泥地？问题可以进一步深入。,引导学生不断地思考，从而改变学生被动学习知识的教学模式，养成自己去查阅大量的书籍和资料来研究相关问题的能力。,实际问题中的优化模型,Min(或Max)z=f(x),x=(x1,xn)Ts.t.gi(x)0,i=1,2,m,gi(x)0约束条件,x决策变量数学规划,f(x)目标函数线性规划非线性规划整数规划,二、数学规划模型：,线性规划一个经济、管理问题满足以下条件：,目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数：存在多种方案；目标是在一定的约束条件下实现的，约束条件可用线性等式或不等式来描述。,线性规划模型一般形式,max(min)Z=c1x1+c2x2+cnxn,三要素：决策变量、约束条件、目标函数,建立线性规划模型的步骤,建立问题的决策变量,建立问题的约束条件,确定问题的目标函数,现假定有一片森林，森林中的树木每年都要有一批被砍伐出售，为了使这片森林不被耗尽而且每年都有所收获，我们要求：每当砍伐一颗树时，就在原地补种上一颗幼苗，从而使得森林中树木的总数保持不变，请你找出一种方案，使得在维持每年都有收获的前提下去砍伐树木，使得被砍伐的树木获得最大的经济价值。,例,1建模分析,目标函数：被砍伐树木的经济价值。,决策变量：被砍伐的树木的数量。,约束条件：持续收获，总数不变。,2模型假设,按高度将树木分为n类：,第一类，高度为,幼苗，其经济价值,第k类，高度为,每棵树木的经济价值,第n类，高度为,每棵树木的经济价值,假设1,记,为第t年开始时森林中各类树木的数量。,每年砍伐一次，为了维持每年都有稳定的收获，只能砍伐部分树木，留下的树木和补种的幼苗，其高度状态应与初始状态相同。,设,分别是第1，2，n类树木,在采伐时砍伐的棵数。,假设2,设森林中树木的总数是s，即,根据土地面积和每棵树木所需空间预先确定的数。,假设3,假设4,每一棵幼苗从种植以后都能生长到收获，且在一年的生长期内树木最多只能生长一个高度级，即第k类的树木可能进入k+1类，也可能留在k类。,设,是经一年的生长期后，从第k类的树木中进入k+1类的比例，则,是在一个生长期内留在第k类中的树木的比例。,3建模,先看没有砍伐时树木生长规律,变形，矩阵形式,定义高度状态向量和生长矩阵：,则没有砍伐时树木生长方程为,再考虑有砍伐和补种时的情形,根据问题的要求，要维持持续收获，即生长期末的状态减去收获采伐的量再加上补种的幼苗数应等于生长期开始的量,各式相加后，得,再记,则,所收获树木的价值,问题,4模型求解,在实际中，往往只砍伐一种类别的所有树木。,利用这一假设，设被砍伐的树木为第k类，则,根据所建模型，,根据所建模型，,得,结果表明：,森林从幼苗开始长到第k年为止开始收获，此时树木高度分布为初始分布。从第k年开始后每年砍伐一次，均砍伐第k类高度的树木。因此，森林中没有高于或等于k类高度的树木。,问题：从幼苗开始长到哪一年收获为最佳？,由,当森林中各参数给定时，分别计算fk的值，再比较选出最大的即可。同时可计算出相应的砍伐量。,5算例,已知森林具有6年的生长期，其参数如下。求出最优采伐策略。,解得,故全部收获第3类树木，可获得最大收益为14.7s。,6进一步思考,1持续养鱼问题,2企业持续发展问题,3经济（社会）持续发展问题,三、综合评价方法分类：,常见的数学模型综合评价方法一般有四种：,(1)传统的评判方法：总评分法、加权评分法。(2)层次分析法。,(3)模糊综合评判方法：单层次模糊综合评判、多层次模糊综合评判。(4)数据包络分析法(DEA)。(5)粗糙集方法。,四、预测方法分类：,(1)回归分析预测：多元回归、非线性回归。(2)时间序列预测：移动平均法、指数平滑法、趋势分析、AR模型、MA模型、ARMA模型、自回归求和滑动平均模型ARIMA、季节性乘积模型ARIMAz、门限自回归模型TAR。(3)马尔可夫预测。,(4)灰色预测：GM（1，1）模型、GM（1，1）残差模型、灰色序列预测、拓扑预测，包络模型。,(5)神经网络预测：BP网络预测、Hopfield网络,预测、模糊神经网络预测。,(6)分形预测。(7)遗传预测。(8)混沌预测。,(9)组合预测：非线性规划模型、权重综合、区域综合、最优加权法、最优加权模型、模型综合的正权组合方法、方差倒数加权法、正权综合方法的改进递归下权综合方法。,坚持以讨论班的形式完成对数模题目的分析,同学们可挑选合适的建模论文研读，了解别人的工作，并将各自的认识看法报告给其他同学听，互相讨论，加强对问题的认识，在此基础上提出自己的一些看法和改进措施，从而更好地解决问题。,认真对待每一次的模拟练习,精心挑选适合不同阶段模拟的题目，严格,按照竞赛要求完成答卷。,对每一次的模拟竞赛论文提出意见，反复,斟酌建立的模型，经过十多次的反复修改，到最后漂亮的、满意的论文成果。,规范科技论文的写作，,养成严谨的学术态度,论文是数学建模的成果体现，容纳了参与人的全部工作与心血。通过数模论文的撰写与修订，能快速培养表述观点与结论的层次性与清晰度。通过严格规范的写作培训，也杜绝引文不规范、剽窃他人成果等不良习惯，培养良好的科研素养。,培养学生坚强的意志和永不言败的自信,学生在培训过程中所经历的沮丧、对自我能力怀疑、否定的痛苦，需要坚强的意志和超强的抗压能力。而作为教练需要及时地鼓励与肯定，以增加学生的自信。,