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概率论简明教程,什么是概率？,例1.盒中装有20件产品，其中有5件次品，不放回地一件一件抽取，问：第十次取出最后一个次品的概率是多少？,例2，在半圆区域0y内随机地投入一点，求该点与原点的连线与x轴的夹角不超过的可能性。,概率的思想在日常生活中的体现,日常用语“可能、大概、也许”有两层意思：不确定性和把握的程度。,形象化说：用0，1内的一个数值来表达对某种结果出现的可能性大小的定量描述。,概率的思想在日常生活中的体现,日常用语“可能、大概、也许”有两层意思：不确定性和把握的程度。,第一章随机事件,1.1随机事件,随机试验样本空间随机事件随机事件之间的关系和运算,一随机试验,概率论是一门研究随机现象及其统计规律性的学科随机现象在个别试验中呈现不确定的结果，而在大量重复试验中结果呈现某种规律性的现象。这种规律性称为统计规律性。,例3，掷一颗骰子，对比两种结果：骰子下落；出现6点,又如：抛一枚均匀硬币100次，出现正面向上的次数恰为35次。男婴女婴的出生率在闹市区的某个街口，在一个给定时间段内观察交通堵塞现象,为了研究随机现象的统计规律性，就要对客观事物进行观察，这个过程叫试验。,概率论所讨论的试验称为随机试验，它具有以下三个特点：在相同的条件下试验可以重复进行；每次试验的结果具有多重可能性，但是试验之前可以明确试验的所有可能结果；在试验前不能准确地预言该次试验将出现哪种结果。,例4（）抛一枚均匀硬币三次，观察正面向上的次数；（）观察某交通道口在一个小时内的汽车流量；（）从某厂生产的相同型号的灯泡中抽取一个，测试它的寿命（）向一个直径为cm的靶子射击，观察弹着点的位置,二样本空间,将随机试验的结果与集合对应起来：一个随机试验，每一个可能出现的结果称为样本点，记为；全体样本点组成的集合称为样本空间，记。也即样本空间是试验的所有可能结果组成的集合，集合中的元素就是样本点。,即：,样本空间可以是有限集，可数集，一个区间在例4中,（）抛一枚均匀硬币三次，观察正面向上的次数。,正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反,，,（）观察某交通道口在一个小时内的汽车流量；,（）从某厂生产的相同型号的灯泡中抽取一个，测试它的寿命,，）,（）向一个直径为cm的靶子射击，观察弹着点的位置（x,y）|x2+y225,三随机事件,从两个角度来定义：概率论的角度；集合的角度。在概率论中，把试验的结果称为事件；每次试验中可能发生也可能不发生、而在大量试验中具有某种规律性的事件称为随机事件；从集合的角度，一个随机试验所对应样本空间的子集称为随机事件用大写字母A、B、C等表示随机事件。,比如掷一颗骰子，观察其出现的点数，=1，2，3，4，5，6，令B=出现奇数点=，.我们看到B是的子集,称某事件发生，当且仅当该集合所包含的某一个样本点在试验中出现。例如抛一枚均匀硬币三次，观察正面向上的次数，正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反=出现一次正面正反反、反正反、反反正，A是该随机试验的一个结果也是样本空间的子集。当第一次正面，第二、三次反面这一样本点在试验中出现时，表示事件发生了，其余类似。,在随机事件中，有的可以看成是由某些事件复合而成的，而有些事件则不能分解为其它事件的组合，这种不能分解成其它事件组合的最简单的随机事件称为基本事件。一般地说，只含一个样本点的随机事件称为基本事件,例5掷一颗骰子，观察其出现的点数，令Ai=出现i点,B=出现奇数点.则Aii为基本事件，i=1,2,6；，为随机（复合）事件。其中=1，2，3，4，5，6,又：C=点数小于7；D=点数大于7每次试验C为必然会发生的事件；为不可能发生的事件；,每次试验中一定发生的事件称为必然事件.包含所有样本点，因此每次试验中必定有中的一个样本点出现，故是必然事件；而另一方面是的子集；每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件.中不包含任何样本点，因此是不可能事件；也是的子集。为讨论问题方便，将上述两个事件也当作随机事件，作为两个极端情况。,与有着紧密的联系，如果每次试验中某一结果必然发生，那么其反面就一定不发生；随机事件都是相对于一定的试验条件而言，条件变了，事件的性质也会变。,例6（续）比较“掷一粒骰子”、“掷两粒骰子”和“掷十粒骰子”，事件A=点数（之和）小于7,四、事件之间的关系与运算,（1）事件的包含：若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A。（2）事件的相等：若事件A包含事件B，事件B也包含事件A，则称事件A与事件B相等。记A=B.,（3）和（并）事件：当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生时，称A与B的和事件发生，记AB。可推广至有限或可列和。,可推广至有限或可列和：至少有一发生，记至少有一发生，记,（4）积（交）事件：当且仅当事件A与事件B同时发生时，称事件A与B的交事件发生，记AB。可推广至有限交或可列交,AB,可推广至有限交或可列交同时发生，记同时发生，记,（5）差事件：当且仅当事件A发生而事件B不发生时，称事件A与B的差事件发生，记A-B。（6）互不相容事件：如果AB=，则称事件A与事件B互不相容（互斥）,A-B,例7抛二枚均匀硬币，=正正，正反，反正，反反。A=第一次出现正面=正正，正反，B=第二次出现正面=正正，反正。A与B的和事件第一次或第二次出现正面，表示为AB=正正，正反，反正。A与B的积事件第一次且第二次都出现正面，表示为AB=正正。A与B的差事件A-B第一次正面第二次出现反面，表示为A-B=正反.,如果一组事件中任意两个事件都互不相容，那么称这组事件两两互不相容。（任意一组基本事件总是两两互不相容）（7）对立事件：事件-A称为事件A的对立事件（逆、余），记.（B-A=B）A=A=（8）运算定律：交换律、结合律、分配律、对偶律。（复习p5）,A,例8设Ai=第i个电子元件正常工作，i=1,2,n.用事件之间的关系表示n个电子元件串联或并联系统正常工作这一事件。串联系统：A1A2An,1,2,3,n,并联系统：A1A2An,1,2,n,1,2,3,4,例9，设Ai=第i个电子元件正常工作，用事件之间的关系表示下列电子线路正常工作这一事件。,例10，设A、B、C为三个随机事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件：（1）A发生，B与C不发生；（2）A、B、C中至少有一个发生；（3）A、B、C中不多于一个发生；（4）A、B、C中至少有两个发生；,例11某城市的供水系统由甲，乙两个水源与三部分管道，组成，每个水源都足以供应城市用水，用i（i=1,2,3）表示“第i号管道正常工作”这一事件。求“城市正常供水”和“城市断水”两个事件用i表示的表示式.,甲水厂,乙水厂,城市,第二章等可能概型,一古典概率二几何概率三频率与概率四概率的公理化定义,一.古典概率,随机事件发生的可能性大小常用区间0，1中的一个数值来刻划，这个数值称为概率，记为p（A）。自然地规定P（）=1，P（）=0。0p(A)1,（2）抛一枚匀称的硬币，出现正面和反面的可能性相同。这两个试验的共同特点是：每次试验只有有限种可能的试验结果，即样本点总数有限。每次试验中各基本事件出现的可能性是相同的。,在现实问题中，有很大一类随机现象具有一些共同的特征，可以直接计算出事件的概率。比如：（1）一盒灯泡100个，任取一个检查其质量，则100个灯泡被抽取的机会相同。,在概率论中，把具有上述两个特点的试验叫做古典型试验，它的数学模型称为古典概型。在古典概型中，记n为样本点总个数，如果事件A中包含nA个样本点，（或称有利于A的样本点个数为nA）那么规定P（A）=nA/n,例1.盒中装有5个球，三白两红，从中任取一个，问：取到白球的概率是多少？若从中任取两个，问两个球全是白球的概率是多少？（考虑50个球的情形：计数原理和排列组合）解：P=3/5P2=3*2/(5*4)=3/10,1.从n个元素中任取k个，有种不同的结果；2.一件事情分几个步骤完成，则互相之间用乘法，一件事情有若干种方法来完成，则互相之间用加法，这就是所谓的计数原理。,例2.一个盒子中装有10个晶体管，其中3个是不合格品。从这个盒子中依次随机地取2个，在有放回与无放回抽样的二种情况下求2个中恰有1个是不合格品的概率。注意抽样的区别：有放回抽样和无放回抽样。,有放回的情况下p=(73+37)/102=0.42在无放回的情况下p=(73+37)/(109)=0.47,例3.两封信随机地向四个邮筒投寄，求A第二个邮筒恰好被投入一封信的概率，B两封信在同一邮筒的概率。解：P(A)=(3+3)/42=3/8P(B)=4/42=1/4,在古典概型中显然有P()=(n-nA)/n=1-p(A),例4，掷两颗骰子，试求出现的点数之和小于10的概率。解：样本空间共含36个样本点，点数之和大于等于10含样本点(5，5），（4，6），（6，4），（5，6），（6，5），（6，6）共6个。P=1-6/36=5/6,在古典概型中显然有P()=(n-nA)/n=1-p(A),例5，某城市的电话号码升为6位数，且第一位为6或8。求（1）随机抽取的一个电话号码为不重复的六位数的概率；（2）随机抽取的电话号码末尾数是8的概率。解（1）（2）,6,8,8,8,例6（女士品茶问题）一位常喝奶茶的女士声称她能辨别出冲好的奶茶是先放茶还是先放奶，并且她在10次试验中都正确地辨别了出来，问她的说法是否可信？每次试验只有两个结果，或者先放茶后放奶，或者先放奶后放茶，十次试验共有不同结果。而10次都正确的结果只有一种！,解：假设该女士的说法不可信，即该女士纯粹是猜测，则每次试验的两个可能结果：茶牛奶或牛奶茶是等可能的该女士在次试验中都正确的辨别出来，则p（）=1/210=0.0009766这是一个小概率事件概率论中“实际推断原理”:一个小概率事件在一次试验中实际上是不会发生的因此按“实际推断原理”事件实际不会发生，这与实际试验结果相矛盾，因此假设“女士纯粹是猜测”不成立，有理由断言该女士的说法是可信的,例7（抽奖券问题）某超市有奖销售，投放n张奖券只有一张有奖。每位顾客可抽一张。求第k位顾客中奖的概率。（无放回抽样）（1kn）,二.几何概率,例：在一个匀称陀螺的圆周上均匀的刻上区间0，3）上的各数字，旋转该陀螺，考察陀螺停下时接触地面的点的刻度恰好为2的概率。,以等可能性为基础，借助于几何上的度量来合理地规定的概率，称为几何概率。一般地，设样本空间是某个区域（直线、平面或空间）每个样本点等可能地出现，规定事件A的概率为P（A）=m（A）/m（）这里m（）分别表示长度、面积或体积。,例8，在半圆区域0y内随机地投入一点，求该点与原点的连线与x轴的夹角不超过的概率.,0,2a,例9在单位圆O的一条直径MN上随机地取一点Q，试求过Q且与MN垂直的弦的长度超过1的概率。,例10甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6h，假定它们在一昼夜时间段中随机到达。试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。,三频率与概率,称为事件A在n次重复试验中出现的频率，其中nA表示事件A在n次重复试验中出现的次数，即频数。人们经过长期的实践发现，虽然一个随机事件在一次试验中可能发生也可能不发生，但是在大量重复试验中这个事件发生的频率却具有稳定性。频率的稳定性在理论上已经被证明。,抛一枚均匀硬币n次的试验（蒲丰问题）,随着n的增大，fn(A)总在0.5附近波动，且逐渐稳定于0.5。,英文字母频率的统计表,在不变的条件下，重复进行n次试验，事件A发生的频率稳定地在某一常数附近摆动，而且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，则称这个常数为事件A的概率,这是概率的统计定义。按概率的统计定义来求出概率是不现实的。在实际应用中,往往就把频率当作概率来使用。,频率的稳定性是概率的试验基础，但并不是说概率决定于试验。一个事件发生的概率完全取决于事件本身的内在性质，是先于试验而客观存在的。概率的统计定义正是指明了这一点。,四概率的公理化定义,以上给出的概率的三种定义中都具有下列三条基本性质（1）非负性；（2）规范性P（）=1；（3）可加性。当A与B互不相容时，,在上述性质的基础上，采用抽象化方法给出概率的公理化定义：给定一个随机试验，是它的样本空间，对于任意一个事件A，规定一个实数，记作P（A）。如果P（）满足下列三条公理，那么就称P（A）为事件A的概率。,续,公理1非负性：对于任意一个事件A，P（A）0；公理2规范性：P（）=1；公理3可列可加性：当可列无限个事件A1，A2，两两互不相容时，有下列等式：P（A1A2）=P（A1）+P（A2）+,由公理可以推导概率的一些性质,（1）P（）=0（2）有限可加性，n两两互不相容，则P(A12n)=p(A1)+p(A2)+p(An)（）对任一事件，P()=P（）（4）当事件是的子集时P（）=P（）P（）P（）P（）,（）对任一事件，p（）；（）p（）p（）p（）；（）加法公式P（）p（）p（）p（）,加法公式可推广到更多的事件上，如三个事件的加法有P(ABC)=p(A)+p(B)+p(C)-p(AB)-p(AC)-p(BC)+p(ABC）,例1，袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽三次，求“取到的三球中没有红球或没有黄球”的概率。解：设：取到的三球中没有红球；：取到的三球中没有黄球P(AB)=p(A)+p(B)-p(AB)（）（）（）5/9,例2，已知P（A）=0.4，P（B）=0.6，事件B包含A，求：,例3，已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=0.1，求事件A、B、C全不发生的概率.解：，至少有一发生的概率=P(ABC)=p(A)+p(B)+p(C)-p(AB)-p(AC)-p(BC)+p(ABC)=3*0.25-2*0.1=0.55注意这里p(ABC)=0A,B,C全不发生的概率=1-P(ABC)=1-0.55=0.45,
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