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1,第四章n维向量空间,我们在第二章给出了直接从线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩判断方程组有没有解及有多少解的判别定理。为了研究方程组有无穷多解时解的解构，我们需要探讨和建立线性方程组的进一步理论，为此，引入了向量空间的概念。,2,第一节n维向量空间一n维向量空间的概念二向量与矩阵的关系三向量的线性组合与线性表出,3,一n维向量空间的概念,一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成,的有序数组,其每一列都是由m个数组成的有序,数组。n元线性方程组的一个解也是由n个数,组成的有序数组。,所以研究线性方程组解的结,构离不开有序数组。,1.定义:,由数域P中n个数组成的有序数组称为,数域P上的一个n维向量，用小写的希腊字母,表示,4,称为行向量（行矩阵），也可以写成一列,称为列向量（列矩阵），称ai(bi),(i=1，2，,n)是第i个分量.显然,n维向量可以写成一行,5,向量的相等,设,零向量,所有分量都是零的向量称为零向量，记作0=(0,0,0),负向量:,n维向量,的各分量的相反数所构成的向量称为,的负向量，记作,6,2n维向量运算,向量的加法,数量乘法,向量的加法和数量乘法统称为向量的线性运算,为向量，为数,显然,7,向量的线性运算的运算律,8,3.n维向量空间,定义：,R为实数域，则Rn为n维实向量空间,R3为3维实向量空间或3维几何空间。,Pn=数域P上的n维向量，连同定义在它上面的向量加法和数量乘法及其满足的8条运算法则一起，称为数域P上的n维向量空间。,如,9,解:,由题设条件,有,10,二向量与矩阵的关系,若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合叫做向量组,例2,向量组称为矩阵A的列向量组,定义：,设矩阵,将A按列分块,11,向量组称为矩阵A的行向量组,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成矩阵.,12,三向量的线性组合与线性表出(示),引例：,设在R3中,则,13,1.定义:,向量组,称为组合系数;,称向量,使得,则称,为表出系数,任给,对于,若存在,线性表出（示）,14,任意一个n维向量,都可由n维基本向量组,2.几个特例,线性表出,且的分量就是表出系数。,15,零向量可由任意一组向量线性表出,维,组本身线性表出,16,3维向量,能否由3维向量组,观察,线性表出？,不能！,问题：对于给定的向量组和向量如何判别线性表出？,17,设数域P上的n元线性方程组,式是线性方程组的向量表示式,分析:,3.线性表出的判别,令,则有,18,于是，线性方程组,有解,存在一组数,使得下式成立,线,线性方程组有没有解,常数项列,向量能否由系数矩阵的列向量组线性表出。,结论：,19,判断线性表出的方法：,对于给定的向量及向量组,线,线,若方程组,无解，则,20,若方程组,有解，则,且方程组的一组解就是表出系数,若方程组有唯一解，则,线,若方程组有无穷多解，则,线,线,21,判断线性表出的方法：,对于给定的列向量及列向量组,令,线,由方程组有解的判别定理，我们很容易得出,则判断,等于,22,则表示方法唯一,若,若,线,则表示方法不唯一，,即无穷多种表示方法,具体作法是：,将用初等行变换化成阶梯形，,判断是否有,23,例3,判断,线性表出，并,求出表出方式。,解：,将矩阵,初等行变换：,线性表出且,24,例4,已知,为何值时，,线性表出?,解：,为何值时，,线性表出且表示法,将矩阵,初等行变换：,不唯一?并写出一种表出方式。,25,为任意值时,线性表出。,当,当,时,线性表出,且表示法不唯一。,26,此时，方程组,令,得,从而,的一般解是,
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