几种重要的连续型分布.ppt

1,几种重要的连续型分布,第五节,2,一、指数分布(ExponentialDistribution),定义如果随机变量X的概率密度为,记为,分布函数为,3,指数分布在排队论和可靠性理论中有广泛的应用，常常用它来作为各种“寿命”的分布的近似.例如,电子元件的寿命,电话的通话时间,微生物的寿命,随机服务系统中的服务时间等都可认为是近似服从指数分布.,指数分布的一个重要性质就是“无后效性”或“无记忆性”.具体叙述如下：,证,4,假如把服从指数分布的随机变量解释为某元件工作的寿命,则上式表明,在该元件已工作了s小时的条件下,它还能继续工作t小时的概率与已经工作过的时间s无关.换句话说,如果元件在时刻s还“活着”,则它的剩余寿命的分布还是原来寿命的分布,而与它已工作了多长的时间无关.所以有时又称指数分布是“永远年轻”的.值得指出的是,我们可以证明,指数分布是唯一具有无记忆性的连续型分布.,5,例1假设电话一次通话时间是一随机变量，服从参数为0.1的指数分布假设某人到达电话亭时有一人正在通话，试求:,解,(1)此人至少需要等10分钟的概率；,(2)此人需要等10到20分钟的概率,6,二、正态分布(NormalDistribution),正态分布是概率分布中最重要的一种分布，这有实践与理论两方面的原因.实践方面的原因是，正态分布是自然界最常见的一种分布，例如测量的误差、炮弹的落点、人的身高与体重、农作物的收获量、波浪的高度等等都近似服从正态分布.一般来说，如果影响某一随机变量的因素很多，而每一个因素都不起决定性作用，且这些影响是可以叠加的，则这个随机变量服从正态分布，这点可用下一章的极限定理来加以证明.从理论方面来说，正态分布有许多良好的性质，如正态分布可以导出一些其他分布，而某些分布（如二项分布、泊松分布等）在一定的条件下可用正态分布来近似.,7,正态分布在19世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布.,德莫佛,德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.,高斯,8,不知你们是否注意到街头的一种赌博活动?用一个钉板作赌具.,街头,请看,9,虽然玩这种赌博游戏十有八九是要输掉的，但仍有不少人总想碰碰运气，然而中大奖的概率实在是太低了.,10,下面我们在计算机上模拟这个游戏：,高尔顿（F.Galton）钉板试验,11,平时，我们很少有人会去关心小球下落位置的规律性，人们可能不相信它是有规律的.一旦试验次数增多并且注意观察的话，你就会发现，最后得出的竟是一条优美的曲线.,12,高尔顿钉板试验,这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线.,13,1.正态分布的概率密度,定义如果随机变量X的概率密度为,14,正态分布密度函数的几何性态：,(1)对称轴：,(2)渐近线：,(3)单调性：,15,(4)顶点(最大值)：,(5)两个拐点：,正态分布密度函数的几何性态：,16,正态分布密度函数的几何性态：,17,正态变量的分布函数为,18,泊松积分,19,的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数和分布函数常用和表示：,20,2.正态分布的期望与方差,奇函数,21,2.正态分布的期望与方差,22,3.一般正态分布与标准正态分布的关系,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,定理,其分布函数为,则,证,23,书末P251附有标准正态分布函数数值表.,表中给的是x0时,(x)的值.,当-x0时，,24,若XN(0,1),例2,解,25,这个公式把一般正态变量的概率计算转换为标准正态分布来计算.,26,例3,解,27,例4,解,查表得,28,例5,这在统计学上称作“3准则”（三倍标准差原则）.,29,30,例6设某批鸡蛋每只的重量X(以克计)服从正态分布XN(5025)(1)求从该批鸡蛋中任取1只其重量不足45克的概率(2)从该批鸡蛋中任取1只其重量介于40克到60克之间的概率(3)若从该批鸡蛋中任取5只试求恰有两只鸡蛋不足45克的概率(4)从该批鸡蛋中任取1只其重量超过60克的概率(5)求最小的n使从中任选n只鸡蛋其中至少有1只鸡蛋的重量超过60克的概率大于099,解,(1),31,设Y为5只鸡蛋中重量不足45克的鸡蛋数则YB(50.1587)故所求概率为,(2),20.977310.9546；,(3),32,设Z表示n只鸡蛋中重量大于60克的鸡蛋数则ZB(n0.0228),(4),(5),因为,欲使,即,解得,33,解,例7若入学考试中各个考生的总分数服从正态分布N(400,1002),共有2000人参加考试，假定只录取前300名，求分数线a，使考生总分超过a的概率等于升学率.,设X表示考试总分，则,34,例8若某人从甲地到乙地有两条路线可走，第一条路线过市区，路程短但拥挤，所需时间(分)服从正态分布N(50,100)；第二条线路沿环城路走，路程长但阻塞少，所需时间(分)服从正态分布N(60,16).问:(1)假如有70分钟可用，应选哪条路？(2)若只有65分钟，又应走哪条路？,解,记行走时间为t，,(1)若有70分钟可用,走第一条路线能及时赶到的概率为,35,走第二条路线能及时赶到的概率为,因此，若有70分钟可用，应选第二条路线.,解,记行走时间为t，,(1)若有70分钟可用,走第一条路线能及时赶到的概率为,36,走第二条路线能及时赶到的概率为,因此，若有65分钟可用，应选第一条路线.,解,记行走时间为t，,(2)若有65分钟可用,走第一条路线能及时赶到的概率为,37,练习：,P77习题二,