2019春九年级数学下册 第三章 圆 3.3 垂径定理教学课件(新版)北师大版.ppt

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,*3.3垂径定理,第三章圆,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,1.进一步认识圆,了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论,并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.(重点)3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.(难点),学习目标,问题:你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?,导入新课,情境引入,问题:如图,AB是O的一条弦,直径CDAB,垂足为P.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?,线段:AP=BP,O,A,B,D,P,C,讲授新课,试一试,证明:连接OA、OB、CA、CB,则OA=OB.,即AOB是等腰三角形.,ABCD,,AP=BP,,AOC=BOC.,从而AOD=BOD.,想一想:能不能用所学过的知识证明你的结论?,垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.,CD是直径,CDAB,(条件),AP=BP,推导格式:,温馨提示:垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.,想一想:下列图形是否具备垂径定理的条件?如果不是,请说明为什么?,是,不是,因为没有垂直,是,不是,因为CD没有过圆心,垂径定理的几个基本图形:,归纳总结,如果把垂径定理(垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧)结论与题设交换一条,命题是真命题吗?过圆心;垂直于弦;平分弦;平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗?,思考探索,举例证明其中一种组合方法已知:求证:,CD是直径,CDAB,垂足为E,AE=BE,证明猜想,AC与BC相等吗?AD与BD相等吗?为什么?,如图,AB是O的一条弦,作直径CD,使AE=BE.(1)CDAB吗?为什么?(2),O,A,B,C,D,E,(1)连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE,AOEBOE(SSS),,AEO=BEO=90,,CDAB.,证明举例,思考:“不是直径”这个条件能去掉吗?如果不能,请举出反例.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.,垂径定理的推论,特别说明:圆的两条直径是互相平分的.,归纳总结,垂径定理的本质是:,满足其中任两条,必定同时满足另三条,(1)一条直线过圆心(2)这条直线垂直于弦(3)这条直线平分不是直径的弦(4)这条直线平分不是直径的弦所对的优弧(5)这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧,例1如图,OEAB于E,若O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.,解析:连接OA,OEAB,,AB=2AE=16cm.,16,一,典例精析,例2如图,O的弦AB8cm,直径CEAB于D,DC2cm,求半径OC的长.,解:连接OA,CEAB于D,,设OC=xcm,则OD=x-2,根据勾股定理,得,解得x=5,,即半径OC的长为5cm.,x2=42+(x-2)2,,证明:作直径MNAB.ABCD,MNCD.则AMBM,CMDM(垂直弦的直径平分弦所对的弧)AMCMBMDMACBD,试一试:根据所学新知,你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?,解:如图,用AB表示主桥拱,设AB所在圆的圆心为O,半径为R.,经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D,与弧AB交于点C,则D是AB的中点,C是弧AB的中点,CD就是拱高.,AB=37m,CD=7.23m.,AD=AB=18.5m,OD=OC-CD=R-7.23.,解得R27.3(m).,即主桥拱半径约为27.3m.,R2=18.52+(R-7.23)2,例4如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD,垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.,解:连接OC.,设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,根据勾股定理,得,解得R=545.,这段弯路的半径约为545m.,如图a、b,一弓形弦长为cm,弓形所在的圆的半径为7cm,则弓形的高为_.,2cm或12cm,针对训练,在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d(圆心到弦的距离),弓形高h的计算题,常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形,利用垂径定理和勾股定理求解.,涉及垂径定理时辅助线的添加方法,弦a,弦心距d,弓形高h,半径r之间有以下关系:,弓形中重要数量关系,d+h=r,1.已知O中,弦AB=8cm,圆心到AB的距离为3cm,则此圆的半径为.,5cm,2.O的直径AB=20cm,BAC=30,则弦AC=.,当堂练习,3.如图,在O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,ODAB于D,OEAC于E,求证四边形ADOE是正方形,证明:,四边形ADOE为矩形,,又AC=AB,AE=AD,四边形ADOE为正方形.,4.已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点。你认为AC和BD有什么关系?为什么?,理由:过O作OEAB,垂足为E,则AEBE,CEDE。AECEBEDE即ACBD.,解:AC=BD,6.(分类讨论题)已知O的半径为10cm,弦MNEF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.,14cm或2cm,5.如图,在ABC中,已知ACB=130,BAC=20,BC=2,以点C为圆心,CB为半径的圆交AB于点D,则BD的长为_,7.如图,某窗户由矩形和弓形组成,已知弓形的跨度AB=6m,弓形的高EF=2m,现设计安装玻璃,请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径,解:弓形的跨度AB=6m,EF为弓形的高,OEAB于F,AF=AB=3m,设AB所在圆O的半径为r,弓形的高EF=2m,AO=r,OF=r-2,在RtAOF中,由勾股定理可知:AO2=AF2+OF2,即r2=32+(r-2)2,解得r=m即,AB所在圆O的半径为m,拓展提升:如图,O的直径为10,弦AB=8,P为AB上的一个动点,那么OP长的取值范围.,3cmOP5cm,垂径定理,内容,推论,辅助线,一条直线满足:过圆心;垂直于弦;平分弦(不是直径);平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论(“知二推三”),垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.,两条辅助线:连半径,作弦心距,构造Rt利用勾股定理计算或建立方程.,基本图形及变式图形,课堂小结,
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