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第二十二章二次函数,本章知识梳理,考纲要求,1.通过对实际问题情境的分析，体会二次函数的意义.2.会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象了解二次函数的性质.3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a（x-h）2+k（a0）的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标、开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题.4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.,知识梳理,知识梳理,知识梳理,知识梳理,知识梳理,考点1二次函数的定义、图像和性质,一、二次函数的定义1.下列函数中，y是关于x的二次函数的是（）A.y=x3+2x2+3B.y=C.y=x2+xD.y=mx2+x+12.若函数y=（m-1）x2+3x+1是二次函数，则有（）A.m0B.m1C.x0D.x1,B,C,二、二次函数的图象3.二次函数y=-x2-2x+3的图象大致是（）,考点1二次函数的定义、图像和性质,A,4.函数y=ax2（a0）和y=-ax+b（a0）在同一坐标系中的图象可能为（）,考点1二次函数的定义、图像和性质,D,三、二次函数的性质5.抛物线y=x2-4x-3的顶点坐标为（）A.（2，-7）B.（2，7）C.（-2，-7）D.（-2，7）6.下列关于抛物线y=-x2+2的说法正确的是（）A.抛物线开口向上B.顶点坐标为（-1，2）C.在对称轴的右侧，y随x的增大而增大D.抛物线与x轴有两个交点,考点1二次函数的定义、图像和性质,D,A,7.当-4x2时，函数y=-（x+3）2+2的取值范围为（）A.-23y1B.-23y2C.-7y1D.-34y2,考点1二次函数的定义、图像和性质,B,8.二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图M22-2所示，对于下列结论：a0；b0；c0；2a+b=0；a-b+c0，其中正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个,考点1二次函数的定义、图像和性质,A,9.对于抛物线y=（x+1）2+3有以下结论：抛物线开口向下；对称轴为直线x=1；顶点坐标为（-1，3）；x1时，y随x的增大而减小.其中正确结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个,考点1二次函数的定义、图像和性质,A,10.如图M22-3，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是_.,考点1二次函数的定义、图像和性质,-2,考点2用待定系数法求二次函数的解析式,一、一般式1.抛物线y=ax2+bx+c经过（0，5），（2，2），（-8，-3）三点，求它的开口方向、对称轴和顶点坐标.,解：抛物线y=ax2+bx+c经过（0，5），（2，2），（-8，-3）三点，c=5,4a+2b+c=2,64a8b+c=3.解得a=,b=1,c=5.y=x2-x+5=（x+2）2+6.该抛物线的开口向下，对称轴是直线x=-2，顶点坐标为（-2，6）.,二、顶点式2.抛物线的顶点坐标为（1，3），且过点（2，1），求抛物线对应的二次函数表达式.,考点2用待定系数法求二次函数的解析式,解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3，把（2，1）代入,得a（2-1）2+3=1.解得a=-2.所以抛物线的解析式为y=-2（x-1）2+3.,三、交点式3.已知二次函数图象经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，-3），求此二次函数的解析式.,考点2用待定系数法求二次函数的解析式,解：设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），把C（0，-3）代入,得a3（-1）=-3.解得a=1.所以抛物线解析式为y=（x+3）（x-1），即y=x2+2x-3.,四、综合4.若抛物线y=-x2+bx+c经过点A（2，0）,B（0，2）.（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图M22-4，点P是抛物线上一动点，连接BP，OP，若BOP是以BO为底边的等腰三角形，求点P的坐标.,考点2用待定系数法求二次函数的解析式,考点2用待定系数法求二次函数的解析式,解：（1）将点A（2，0），B（0，2）代入y=-x2+bx+c，得4+2b+c=0,c=2.解得b=1,c=2.这条抛物线的解析式为y=-x2+x+2.（2）BOP是以BO为底边的等腰三角形，且OB=2，点P的纵坐标为1.当y=1时，-x2+x+2=1.解得x1=，x2=点P的坐标为或,5.如图M22-5，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM，BM.（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断ABM的形状，并说明理由.,考点2用待定系数法求二次函数的解析式,解：（1）点A为直线y=x+1与x轴的交点，A（-1，0）.又点B的横坐标为2，代入y=x+1，得y=3，B（2，3）.抛物线顶点在y轴上，可设抛物线的解析式为y=ax2+c.把A,B两点坐标代入,得a+c=0,4a+c=3.解得a=1,c=1.抛物线的解析式为y=x2-1.,考点2用待定系数法求二次函数的解析式,（2）ABM为直角三角形.理由如下：由（1）知抛物线的解析式为y=x2-1，可得点M的坐标为（0，-1），AM2=12+12=2，AB2=（2+1）2+32=18，BM2=22+（3+1）2=20.AM2+AB2=2+18=20=BM2.ABM为直角三角形.,考点2用待定系数法求二次函数的解析式,考点3二次函数与一元二次方程,一、抛物线与坐标轴的交点1.若二次函数的解析式为y=2x2-4x+3，则函数图象与x轴交点的情况是（）A.没有交点B.有一个交点C.有两个交点D.以上都不对,A,考点3二次函数与一元二次方程,2.已知二次函数y=x23x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x23x+m=0的两实数根是（）A.x1=1，x2=1B.x1=1，x2=2C.x1=1，x2=0D.x1=1，x2=3,B,考点3二次函数与一元二次方程,3.如图M22-6，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴的一个交点为（-2，0），对称轴为直线x=1，则y0时x的取值范围是（）A.x4或x-2B.-2x4C.-2x3D.0x3,B,考点3二次函数与一元二次方程,4.已知抛物线y=a（x-1）（x-2）经过点（-1，3），利用其函数图象判断函数y的值大于0时，x的取值范围为（）A.x2或x1B.1x2C.x-1或x-2D.-2x-1,A,考点3二次函数与一元二次方程,5.（2017镇江）若二次函数y=x2-4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n=_.6.抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图M22-7所示，则关于x的不等式ax2+bx+c+20的解集为_.,4,-4x2,考点3二次函数与一元二次方程,7.已知，如图M22-8，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（-3，0），与y轴交于点C，点D（-2，-3）在抛物线上.（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；（3）若抛物线上有一动点M，使ABM的面积为6，求点M的坐标.,考点3二次函数与一元二次方程,解：（1）二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（-3，0），D（-2，-3），93b+c=0,42b+c=3.解得b=2,c=3.二次函数的解析式为y=x2+2x-3.（2）抛物线的对称轴是直线x=-1，D（-2，-3），C（0，-3），C,D关于抛物线的对称轴直线x=-1对称，如答图M22-1所示，连接AC，与对称轴的交点就是点P,此时PA+PD=PA+PC=AC=,考点3二次函数与一元二次方程,（3）设点M的坐标为（m，m2+2m-3）.令y=0，即x2+2x-3=0.解得x=-3或x=1.点B的坐标为（1，0）.AB=4.SMAB=6，=6.m2+2m=0或m2+2m=6.m=0或-2或-1+或-1-.点P的坐标为（0，-3）或（-2，-3）或（-1+，3）或（-1-，3）.,考点3二次函数与一元二次方程,二、图象法求一元二次方程的近似根8.（2017兰州）下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是（）A.1B.1.1C.1.2D.1.3,C,考点4实际问题与二次函数,一、图形面积问题1.如图M22-9，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动.设PQD的面积为S，点移动的时间为x（x0）s.,考点4实际问题与二次函数,（1）求S关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；（2）经过多少时间，PQD的面积最小？,解：（1）根据题意,得AP=x，BQ=2x，则BP=6-x，CQ=12-2x，SPQD=S矩形ABCD-SAPD-SPBQ-SCDQ=126-12x-2x（6-x）-6（12-2x）=x2-6x+36.S=x2-6x+36（0x6）.（2）S=x2-6x+36=（x-3）2+27，当x=3时，S最小,即经过3s时，PQD的面积最小.,二、商品利润问题2.为满足市场需求，某超市在五月初五端午节来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒.（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；,考点4实际问题与二次函数,（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？,考点4实际问题与二次函数,解：（1）由题意,得y=700-20（x-45）=-20 x+1600.（2）P=（x-40）（-20 x+1600）=-20 x2+2400 x-64000=-20（x-60）2+8000，x45，a=-200，当x=60时，P最大值=8000（元），即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P最大，最大利润是8000元.,三、实物抛物线问题3.如图M22-10，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=，则该运动员此次掷铅球的成绩是（）A.6mB.12mC.8mD.10m,考点4实际问题与二次函数,D,4.（2017德州）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，如图M22-11，在水池中心竖直安装了一根高为2m的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，水柱落地处离池中心3m.（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；（2）求出水柱的最大高度.,考点4实际问题与二次函数,考点4实际问题与二次函数,解：（1）如答图M22-2所示,以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+h，代入（3，0）和（0，2），得4a+h=0,a+h=2.解得a=,h=.抛物线的解析式为y=（x-1）2+,即y=x2+x+2（0x3）.（2）由y=（x-1）2+（0x3），得当x=1时，y=，即水柱的最大高度为m.,
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