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第四章三角形,4.2三角形及其性质,考点1三角形的分类,陕西考点解读,三角形按边的关系分类如下：,三角形按边的关系分类如下：,陕西考点解读,等腰三角形中至少有两边相等，而等边三角形的三边都相等，所以等边三角形是特殊的等腰三角形。,【特别提示】,【提分必练】,1.已知一个三角形三个内角的度数之比为123，则这个三角形一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形,B,考点2三角形的三边关系,陕西考点解读,中考说明:1.探索并证明三角形的内角和定理。2.掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证明三角形的任意两边之和大于第三边。,1.三角形的三边关系定理及其推论(1)三角形的三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。(2)推论：三角形的两边之差小于第三边。2.三角形的内角和定理及其推论(1)三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180。,(2)推论：a.直角三角形的两个锐角互余。b.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。c.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。,陕西考点解读,【特别提示】,1.运用三角形的三边关系时，不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段之和大于第三条线段即可。2.一个三角形有六个外角。要证明角的不等关系，常常要用到三角形的外角的性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。,陕西考点解读,【提分必练】,2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是()A.4cm，5cm，9cmB.8cm，8cm，15cmC.5cm，5cm，10cmD.6cm，7cm，14cm3.将一副直角三角板按如图的位置放置，使含30角的三角板的一条直角边和含45角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则的度数是()A.45B.60C.75D.85,B,C,考点3三角形的相关线段,陕西考点解读,中考说明:1.理解三角形的中线、高线、角平分线等概念。2.探索并证明三角形的中位线定理。,陕西考点解读,1.三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线。2.三角形的一条中线将这个三角形分成面积相等的两个三角形。3.三角形的角平分线、中线都在三角形的内部。锐角三角形的高在其内部(如图)；直角三角形的两条直角边互为高，三条高的交点在直角三角形的直角顶点处(如图)；钝角三角形有两条高在三角形的外部，三条高的延长线的交点在三角形的外部(如图)。,陕西考点解读,【特别提示】,陕西考点解读,【提分必练】,4.如图，CD，CE，CF分别是ABC的高、角平分线、中线，则下列各式错误的是()A.AB=2BFB.ACE=ACBC.AE=BED.CDBE,C,考点4特殊三角形的性质与判定,陕西考点解读,中考说明:1.探索并证明等腰三角形的性质定理。2.探索并掌握等腰三角形的判定定理。3.探索等边三角形的性质定理与判定定理。4.探索并掌握直角三角形的性质定理。5.探索勾股定理及其逆定理。,1.等腰三角形的性质与判定(1)定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，如图，ABC为等腰三角形。(2)性质：两个底角相等，即B=C；两腰相等，即AB=AC；等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，即直线AD；三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。(3)判定：有两边相等的三角形是等腰三角形；有两角相等的三角形是等腰三角形。(4)等腰三角形的面积计算公式：，其中a是底边长，h是底边上的高。,陕西考点解读,2.等边三角形的性质与判定(1)定义：三边都相等的三角形叫作等边三角形，如图，ABC为等边三角形。(2)性质：三条边相等，即AB=AC=BC；三个角相等，且每个角都等于60；是轴对称图形，有三条对称轴。(3)判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。(4)等边三角形的面积计算公式：，a是等边三角形的边长，h是等边三角形的高。,陕西考点解读,3.直角三角形的性质与判定(1)性质：直角三角形的两个锐角互余；在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。(2)勾股定理:直角三角形两直角边长a，b的平方和等于斜边长c的平方，即a2+b2=c2。(3)常用关系式:如图，由三角形的面积公式，得ABCD=ACBC。(4)判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形。,陕西考点解读,【特别提示】,陕西考点解读,1.若题目中没有明确指出三角形的边是底还是腰，没有明确指出三角形的角是顶角还是底角时，要进行分类讨论。2.底角为顶角2倍的等腰三角形，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形。3.等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合。4.运用勾股定理的前提是在直角三角形，且必须在同一个直角三角形中。勾股定理把“数”和“形”有机地结合起来，是数形结合思想方法的典型。,【知识延伸】,射影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项，如图。,【提分必练】,陕西考点解读,5.如图，在等边三角形ABC中，ADBC，垂足为D，点E在线段AD上，EBC=45，则ACE等于()A.15B.30C.45D.606.如图，在ABC中，BAC=90，ADBC，垂足为D，E是边BC的中点，AD=ED=3，则BC的长为()A.B.C.6D.,A,D,考点5三角形的五心,陕西考点解读,【提分必练】,陕西考点解读,三角形的重心把中线分为21的两部分(重心到顶点的距离占2份，重心到对边中点的距离占1份)。,【特别提示】,7.如图，在ABC中，A=66，点I是内心，则BIC的大小为()A.114B.122C.123D.132,C,重难点1三角形中的重要线段(重点),重难突破强化,例1(2018西安莲湖区模拟)如图，在ABC中，AC=5，AB=6，BC=9，AB的垂直平分线交BC于点D，则ACD的周长是()A.11B.14C.15D.20,B,【解析】MN是AB的垂直平分线，DA=DB，ACD的周长为AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC=9+5=14。故选B。,重难点2特殊三角形的相关计算(重点、难点),重难突破强化,例2(2018福建中考)把两个同样大小的含45角的直角三角尺按如图的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上。若AB=，则CD=_。,【解析】如答图，过点A作AFBC于点F。在RtABC中，B=45，BC=AB=2，BF=AF=AB=1。这两个含45角的直角三角尺全等，AD=BC=2。在RtADF中，DF=CD=BF+DF-BC=,重难点3特殊三角形的判定（易错点),重难突破强化,例3(2018黑龙江中考)在RtABC中，ABC=90，AB=3，BC=4，过点B的直线把ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是_。,【解析】在RtABC中，ABC=90，AB=3，BC=4，AC=SABC=ABBC=6。过点B的直线把ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：当AB=AP=3时，如答图，SABP=SABC=6=3.6；,3.6或4.32或4.8,当AB=BP=3，且点P在AC上时，如答图，作RtABC斜边AC上的高BD，则BD=AD=DP=AP=2AD=3.6，SABP=APBD=3.62.4=4.32；当CB=CP=4时，如答图，SBCP=SABC=6=4.8。综上所述，等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8。,重难突破强化,【易错警示】此题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质以及三角形的面积。在判定等腰三角形时，容易因为考虑不全面导致漏解。避免漏解的方法：正确认识等腰三角形中的有关概念，审题要细心，考虑要全面。该题中未明确指出等腰三角形的腰或顶角，所以要分情况讨论，找出所有可能的分割方法，并求出得到的相应的等腰三角形的面积。,
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