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第二节矩阵的运算,、定义,设有两个矩阵那末矩阵与的和记作，规定为,一、矩阵的加法,说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,例如,2、矩阵加法的运算规律,1、定义,二、数与矩阵相乘,2、数乘矩阵的运算规律,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,（设为矩阵，为数）,、定义,并把此乘积记作,设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中,三、矩阵与矩阵相乘,例,设,例2,故,解,注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.,例如,不存在.,、矩阵乘法的运算规律,（其中为数）;,若A是阶矩阵，则为A的次幂，即并且,注意矩阵不满足交换律，即：,例设,则,但也有例外，比如设,则有,例3计算下列乘积：,解,解,=(,）,解,例4,由此归纳出,用数学归纳法证明,当时，显然成立.,假设时成立，则时，,所以对于任意的都有,定义把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.,例,、转置矩阵,四、矩阵的其它运算,转置矩阵的运算性质,例5已知,解法1,解法2,2、方阵的行列式,定义由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或,运算性质,3、对称阵与伴随矩阵,定义,设为阶方阵，如果满足，即那末称为对称阵.,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.,说明,例6设列矩阵满足,证明,例7证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和.,证明,所以C为对称矩阵.,所以B为反对称矩阵.,命题得证.,定义,行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵,性质,证明,则,称为矩阵的伴随矩阵.,4、共轭矩阵,故,同理可得,运算性质,（设为复矩阵，为复数,且运算都是可行的）:,矩阵运算,加法,数与矩阵相乘,矩阵与矩阵相乘,转置矩阵,对称阵与伴随矩阵,方阵的行列式,共轭矩阵,五、小结,（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.,（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,注意,（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.,成立的充要条件是什么?,思考题,答,故成立的充要条件为,思考题解答,
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