《系统的数学模型》PPT课件.ppt

第3章动态系统的数学模型,数学模型给出了一个物理系统输入-输出关系的表达式。数学模型可以通过理论或者经验的方法建立。数学模型有利于分析和设计控制系统。,3.1引言-数学模型,3.1引言-为什么要建立数学模型,评价系统性能通过离线仿真以了解系统特性扰动响应各种输入响应设计控制器测试控制器性能节约控制系统设计的时间和成本,3.1引言-如何建立数学模型,基于理论分析例如：牛顿定律：动力学系统基尔霍夫定理：电路基于实验观察例如：某些化学过程流体动力学,3.1引言-数学模型,微分方程,传递函数,状态方程,数学模型,3.1引言-数学模型,3.1引言-简化性与精确性,通过增加数学模型的复杂度，可以改善数学模型的精确性。在建立数学模型时，必须在模型的简化性和分析结果的精确性之间做出折中考虑。在推导合理的简化数学模型时，要考虑系统的工作状态。在不同的工作状态下，被忽略的因素可能会变成影响系统工作的重要因素。,3.1引言-线性系统,如果系统输入和输出之间同时满足齐次性和叠加性，则称其为线性系统。,即，若系统的输入为,即，若系统的输入为,对于任何A与B都成立。其中是输入为时的系统输出,3.1引言-线性系统,如果线性系统有一个复杂的输入，可将输入分解为许多较简单输入的和，针对简单输入个别计算输出，其输出相加，就是系统对应复杂输入的输出。,3.1引言-线性定常系统与时变系统,根据系统是否含有参数随时间变化的元件，自动控制系统可分为时变系统与定常系统两大类。定常系统：又称为时不变系统，其特点是：描述系统运动的微分或差分方程，其系数均为常数在物理上它代表结构和参数都不随时间变化的这一类系统反映在系统特性上，系统的响应特性只取决于输入信号的形状和系统的特性，而与输入信号施加的时刻无关。,3.1引言-线性定常系统与时变系统,若系统在输入r(t)作用下的响应为y(t)，当输入延迟一时间，则系统的响应也延迟同一时间且形状保持不变，如下图所示。定常系统的这种基本特性给分析研究带来了很大的方便。,线性定常系统特性,3.1引言-线性定常系统与时变系统,如果系统的参数或结构是随时间而变化的，则称为时变系统。例如火箭或带钢卷筒控制系统，在运行过程中随着燃料不断地消耗或卷筒卷绕带钢后直径的变化，使得系统的质量或惯性随时间而变化，故它们属于时变系统。,3.1引言-线性定常系统与时变系统,时变系统的特点是：由于系统的参数或结构是随时间变化的，描述系统运动的方程为时变方程；反映在特性上，系统的响应特性不仅取决于输入信号的形状和系统的特性，而且还与输入信号施加的时刻有关，这给系统的分析研究带来了困难。,3.1引言-线性定常系统与时变系统,在自动控制理论中内容丰富且便于实用的是定常系统部分，而时变系统理论尚不够成熟。虽然严格说来，在运行过程中由于各种因素的作用，要使实际系统的参数完全不变是不可能的，定常系统只是时变系统的一种理想化模型。但是，只要参数的时变过程比之系统的运动过程慢得多，则用定常系统来描述实际系统所造成的误差就很小，这在工程上是容许的。大多数实际系统的参数随时间变化并不明显，按定常系统来处理可保证足够的精确度。,3.1引言-非线性系统,不满足齐次性和叠加性的系统，称为非线性系统。虽然许多物理关系常以线性方程表示，但是在大多数情况下，实际的关系并非真正线性的。许多所谓的线性系统，也只是在一定的工作范围内保持真正的线性关系。,3.1引言-非线性系统线性化,在控制工程中，系统的正常工作可能围绕平衡点进行，而信号则可以看做是围绕着平衡点变换的小信号。在这种情况下，可以用线性系统去近似非线性系统。对非线性系统的方程，采用泰勒级数展开，略去高阶项，保留一阶项，就可得到近似的线性模型。这种线性化的方法对于闭环控制系统具有实际意义。,第三章传递函数,传递函数,3.2传递函数,3.2.1传递函数,在控制理论中，为了表示能够用线性常微分方程描述的元件或系统的输入-输出关系，经常应用传递函数,线性定常系统的传递函数(TransferFunction)：当初始条件为零时，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。,3.2传递函数,3.2.1传递函数,系统的传递函数G(s)为,3.2传递函数,3.2.2传递函数的说明,传递函数的概念的适用范围限于线性常微分方程。,系统或元件的传递函数，也是描述其动态特性的模型的一种，它和系统(或元件)的运动方程是相互一一对应的。若给定了系统(或元件)的运动方程式，则与之对应的传递函数便可唯一的确定。传递函数与微分方程一样，是从实际物理系统中抽象出来的，它只反映系统(元件)中输出信号与输入信号之间的变化规律，而不反映原来物理系统(元件)的实际结构。对于许多物理性质截然不同的系统(元件)，可以具有相同形式的传递函数。,3.2传递函数,3.2.2传递函数的说明,例如下图(a)和(b)所示的两种不同的物理系统，有类同的传递函数，它们分别为：,3.2传递函数,3.2.2传递函数的说明,对于物理可实现系统，分子的次数m低于分母的次数n，且所有系数均为实数。因为实际的物理系统总是存在惯性，输出不会超前于输入。且各系数都是系统元件参数的函数，而元件参数只能是实数。传递函数反映系统本身的动态特性，只与系统本身的参数有关，与外界输入无关。即传递函数只表示输出量与输入量的关系，是一种函数关系。这种函数关系由系统的结构和参数所决定，与输入信号和输出信号无关。,3.2传递函数,3.2.2传递函数的说明,一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，所以只适用与单输入单输出系统的描述，而且系统内部的中间变量的变化情况，一个传递函数也无法全面反映。如果系统的传递函数已知，就可以针对各种不同形式的输入量研究系统输出或响应，以便掌握系统的性质。如果不知道系统的传递函数，则可以通过引入已知输入量研究系统输出量的实验方法，确定系统的传递函数。,3.2.3传递函数的零点和极点,对于传递函数,对分子分母因式分解可以得到,其中，为传递函数的零点，为传递函数的极点。可见传递函数有m个零点，n个极点和一个实常数倍数。这些零点和极点中当然可以有重零点和重极点。零点和极点完全取决于系统的结构参数。,3.2传递函数,3.2.3传递函数的零点和极点,一般地，零点和极点可以为实数或复数。若为复数，必共轭成对地出现，这是因为系统结构参数均为正实数的缘故。把传递函数的零、极点表示在复平面上的图形，称为传递函数的零、极点分布图，如下图所示。图中零点用”表示，极点用”表示。,3.2传递函数,3.3典型环节的传递函数,按照系统方程式将元件或系统划分为若干环节，主要用于建立系统的数学模型，研究系统的特性一个系统可看作由一些基本环节组成，能组成独立的运动方程式的部分便称为环节。环节可以是一个元件，也可以是一个元件的一部分或由几个元件组成，而方程的系数仅与该环节元件的参数有关，与其它环节无关。,典型环节包括：比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、振荡环节、延时环节等。,输出量与输入量成正比的环节称为比例环节,1.比例环节,3.3典型环节的传递函数,拉氏变换后,故比例环节的传递函数为,下图为反相运算放大器电路为输入电压输出电压,1.比例环节,3.3典型环节的传递函数,传递函数为,如图所示是齿轮传动副，T1为输入转矩，T2为输出转矩。,1.比例环节,3.3典型环节的传递函数,减速比为,则有,齿轮副转速的传递函数为,不考虑损耗的情况下,齿轮副转矩的传递函数为,惯性环节的特点是存在储能元件和耗能元件，在阶跃状态下，输出不能立即达到稳态值。它的输出量的变化落后于输入量。,2.惯性环节,其微分方程：,3.3典型环节的传递函数,对上式进行拉氏变换，其传递函数是：,K惯性环节的增益：,T时间常数，和环节的结构参数有数：,如图所示为RC电路，为输入电压为输出电压,2.惯性环节,其微分方程：,3.3典型环节的传递函数,消去中间变量,拉氏变换后得到系统的传递函数,T时间常数，等于RC：,下图所示为机械转动系统，它由惯性负载和粘性摩擦阻尼器构成，以转矩为输入量，以角速度为输出量。,2.惯性环节,其微分方程：,3.3典型环节的传递函数,传递函数为：,输出量与输入量的积分成比例的环节，称为积分环节,3.积分环节,3.3典型环节的传递函数,其传递函数为,T-积分时间常数,例：电容器充电的电流i和电容电压u的关系为图所示，求传递函数。,3.积分环节,3.3典型环节的传递函数,系统微分方程为,系统的传递函数为,拉氏变换后,例：如图所示的液压缸，如果以流量q为输入量，以活塞的位移x为输出量，并忽略液压缸的泄漏及缸体和油液的弹性。求传递函数,3.积分环节,3.3典型环节的传递函数,系统微分方程为,系统的传递函数为,A-液压缸活塞面积,V-液压缸活塞运动速度,输出量与输入量的微分成比例的环节，称为微分环节,4.微分环节,3.3典型环节的传递函数,其传递函数为,微分时间常数,当输入量为单位阶跃信号时，输出量就是脉冲函数，这在实际中是不可能的。因此，理想的微分环节不能实现，在实际中用来执行微分作用的都是近似的，称为实际微分环节，其传递函数具有如下形式：,为无源微分电路，设为输入量，电阻R两端电压为输出量,4.微分环节,3.3典型环节的传递函数,微分方程为,消去中间变量,传递函数为,这个电路的传递函数是微分环节的传递函数与惯性环节的传递函数相乘，所以，实际的微分环节都是具有惯性的。当这个电路的时，可近似得到理想微分环节，即,振荡环节包含有两种储能元件，在信号传递过程中，因能量的的转换而使其输出带有振荡的性质，其微分方程为,5.振荡环节,3.3典型环节的传递函数,对上式进行拉氏变换，求得振荡环节的传递函数,式中n无阻尼固有频率,阻尼比,如图所示的机械移动系统和RLC路，当01时，其运动规律可用振荡环节描述。,5.振荡环节,3.3典型环节的传递函数,RLC的微分方程,5.振荡环节,3.3典型环节的传递函数,对上式进行拉氏变换，求其传递函数,式中,描述一阶微分环节输入输出间关系的微分方程为,6.一阶微分环节,3.3典型环节的传递函数,传递函数为,7.二阶微分环节,描述二阶微分环节输入输出间关系的微分方程为,传递函数为,与微分环节一样，一阶微分环节和二阶微分环节在物理系统中也不会单独出现，在其组成中必然包含有惯性环节或振荡环节。系统中引入一阶微分环节和二阶微分环节主要是用于改善系统的动态品质。,一、二阶微分环节,3.3典型环节的传递函数,例：如图所示的无源RC电路，根据基尔霍夫定律和欧姆定律可求得其传递函数为:,可见，该电路的传递函数是由比例环节、一阶微分环节及惯性环节组成。,该环节的输出滞后输入时间后不失真地复现输入，其数学描述式为,8.滞后环节,3.3典型环节的传递函数,其传递函数为,延迟环节与惯性环节的区别在于:惯性环节从输入开始时刻起就有输出，只是由于惯性，输出要滞后一段才接近于所要要求的输出值；延迟环节从输入开始之初并无输出，但t=之后，输出就完全等于输入，,8.滞后环节,3.3典型环节的传递函数,延迟环节的输入-输出关系a)输入信号b)输出信号,3.4方块图及其简化,框图(BlockDiagram)是系统中各个元件功能和信号流向的图解表示，又称为方块图。,1.系统框图的组成,箭头表示信号传递的方向，在信号线的上(下)方可以标出信号的时间函数或其拉氏变换式。,3.4方块图及其简化,信号线,表示把一个信号分成两路(或多路)输出。信号线上只传送信号，不传送能量。所以信号虽然分成多路引出，但是引出的每一路信号都与原信号相等。,引出点,1.系统框图的组成,表示两个(或多个)输入信号进行相加或相减，信号线上的“+”或“-”表示信号相加或相减，相加减的量应具有相同的量纲。,3.4方块图及其简化,比较点,表示该环节的输入信号按照方框中的传递函数关系变换为输出信号，即表示对信号进行的数学变换，方框中写入元部件或系统的传递函数。,方框,2.框图的连接方式及运算法则,系统各环节之间一般有三种基本连接方式，串联、并联和反馈连接，方块图运算法则是求取方块图不同连接方式下等效传递函数的方法。,3.4方块图及其简化,方框与方框首尾相连，前一方框的输出就是后一方框的输入，前后方框之间无负载效应。,串联连接,2.框图的连接方式及运算法则,3.4方块图及其简化,上述结论可以推广到任意个传递函数的串联。n个方框依次串联的等效传递函数，等于n个传递函数的乘积。,串联连接,注意：只有当无负载效应，即前一环节的输出量不受后面环节的影响时，上式方才有效。,2.框图的连接方式及运算法则,3.4方块图及其简化,两个或多个方框，具有同一个输入，而以各方框输出的代数和作为总输出。,并联连接,2.框图的连接方式及运算法则,3.4方块图及其简化,上述结论可以推广到任意个传递函数的并联。n个方框并联的等效传递函数，等于n个传递函数的代数和。,并联连接,2.框图的连接方式及运算法则,3.4方块图及其简化,一个方框的输出，输出到另一个方框，得到的输出再返回作用于前一个方框的输入端。,反馈连接,2.框图的连接方式及运算法则,3.4方块图及其简化,反馈连接,闭环传递函数：输出信号与输入信号之比,前向传递函数：输出信号与偏差信号之比,反馈传递函数：反馈信号与输出信号之比,开环传递函数：反馈信号与偏差信号之比,2.框图的连接方式及运算法则,3.4方块图及其简化,反馈连接,整个闭环传递函数是由前向传递函数和开环传递函数构成。,式中，当为负反馈时取“+”，正反馈时取“-”。,3.方框图的化简,3.4方块图及其简化,前向通道的传递函数保持不变,各反馈回路的传递函数保持不变,方框图化简的原则,3.方框图的化简,3.4方块图及其简化,引出点的后移,3.方框图的化简,3.4方块图及其简化,引出点的前移,3.方框图的化简,3.4方块图及其简化,比较点的后移,3.方框图的化简,3.4方块图及其简化,比较点的前移,移动前的信号关系是,移动后的信号关系是,3.方框图的化简,3.4方块图及其简化,相邻引出点之间的移动,若干个引出点相邻，表明同一信号要送到许多地方去。因此，引出点之间相互交换位置，不会改变引出信号的性质，不需要作传递函数的变换。,3.方框图的化简,3.4方块图及其简化,相邻比较点之间的移动,3.方框图的化简,3.4方块图及其简化,比较点的合并,注意：比较点和引出点之间一般不宜交换其位置。,由方框图求系统传递函数的基本思路：利用等效变换法则，移动比较点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的简单回路。,3.方框图的化简,3.4方块图及其简化,求下图示框图化简并求传递函数,解先用串联法则再用并联法则将图变换为图a，再用串联法则简化为图b；最后用反馈法则化简为一个框图c，即求得传递函数。,3.方框图的化简,3.4方块图及其简化,3.方框图的化简,3.4方块图及其简化,求下图示框图化简并求传递函数,解这是一个多回路框图，而且有引出点、比较点的交叉。为了从内回路到外回路进行化简，首先要消除交叉连接。,3.方框图的化简,3.4方块图及其简化,1.信号流图,3.5信号流图及梅逊公式,信号流图(SignalFlowGraph)是表示线性方程组各变量之间关系的另一种图示方法。与框图相比，流图符号简单，便于绘制，而且不必化简，可利用梅逊公式直接求得系统的传递函数。,1.信号流图,3.5信号流图及梅逊公式,源点:只有输出没有输入的节点。,汇点:只有输入没有输出的节点,混合节点:既有输入又有输出的节点。节点之间用直线相连，用箭头表示信号的流向，有向线段为支路，在支路上标明节点间的传递关系。,通路:沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。,前向通路:从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路.,回路:起点与终点重合且与节点相交不多于一次的通路。,2.梅逊公式,3.5信号流图及梅逊公式,根据梅逊公式(MasonRule)直接求取方框图的传递函数或信号流图的传输，梅逊公式为,从源节点至任何节点的传输；,T,第K条前向通道的传输；,信号流图的特征式，是信号流图所表示的方程组的系数行列式，其表达式为,3.2传递函数,3.2.2传递函数的说明,传递函数的概念的适用范围限于线性常微分方程。,系统的传递函数是一种数学模型，它表示联系输出变量与输入变量的微分方程的一种运算方法描传递函数描述述系统本身的固有特性，与输入量/输出量无关；传递函数包含联系系统输入量和输出量所必须的单位，但是不提供有关系统物理结构的任何信息。(许多物理上完全不同的系统，可以具有相同的传递函数）如果系统的传递函数已知，就可以针对各种不同形式的输入量研究系统输出或响应，以便掌握系统的性质。如果不知道系统的传递函数，则可以通过引入已知输入量研究系统输出量的实验方法，确定系统的传递函数。,传递函数分母多项式中s的最高幂数代表了系统的阶数，如s的最高幂数为n，则该系统为n阶系统。,