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习题讲解,1、求（1）矢量A的散度；（2）求A在对中心在原点的一个单位立方的积分；（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。,第一次作业,解：,（1）A的散度为：,（2）A在对中心在原点的一个单位立方的积分,3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。,2、求矢量A沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两个边分别与x轴和y轴相重合。再求A对此回路所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。,解：,（1）A的线积分为：,x,（2）A的旋度为：,（2）求A对此回路所包围的表面积分,P3.14:AnelectricdipoleconsistsoftwoequalandoppositepointchargesQandQthatareadistancedapart.(1)Findtheelectricfieldvectoralongthexaxisinthefigure.(2)Findtheelectricfieldvectoralongtheyaxis.(3)Howdoestheelectricfieldstrengthbehaveatdistancexd,andydawayfromthedipole?Howdoesthisbehaviorcomparetothatofthefieldofasinglepointcharge?,第二次作业,题3.14:由两个距离为d的等量异号电荷（电荷分别为Q和-Q）组成的电偶极子。求：（1）求图中沿x轴的电场矢量E（2）求图中沿y轴的电场矢量E（3）求远离偶极子的区域（xd，yd）的电场强度E，并分析场的特点，并与点电荷的电场相比较。,（1）求图中沿x轴的电场矢量E,由库仑定律：,（2）求图中沿y轴的电场矢量E,当yd/2时，由库仑定律：,当d/2y-d/2时，由库仑定律：,当d/2=y-d/2时，由库仑定律：,当yd，yd）的电场强度E，并分析场的特点，并与点电荷的电场相比较。,当xd，yd时，即Rd，Rd，Rd,电偶极子的电场按照R3反比变化，当R增大时，比点电荷的电场减小更快，这是因为在远处，正负电荷的电场相互抵消的缘故。,P4.13:Thevolumechargedensityinsidethesphericalsurfaceofradiusaissuchthattheelectricfieldvectorinsidethesphereispointingtowardsthecenterofthesphere,andvarieswithradialpositionasE(r)=E0r/a(E0isconstant).Findthevoltagebetweenthecenterandthesurfaceofthesphere.,习题4.13：在半径为a的球面内的体电荷密度，球内的电场强度矢量指向球心，与半径的变化规律是,求：球心和球面间的电势差,P5.3ApointchargeQ=-310-12Cisd=5cmawayfromacircularsurfaceSofradiusa=3cmasshowninfigureP5.3.DeterminethefluxofvectorEthroughS.,题5.3一个点电荷Q=-310-12C离一个圆环面S距离d=5cm，圆环半径为a=3cm，如图所示，计算电场E穿过环面S的电通量。,解：在圆环面选取一个小的与环面同心的圆环，该小还面的半径为r，点电荷Q与小环面上任一点的距离为R,由库仑定律，小圆环上的任意一点的电场强度为：,电场E穿过圆环面S的电通量为：,P6.11Threecoaxialconductinghollowcylindershaveradiia=0.5cm,b=1cm,andc=2cm,andequallengthd=10cm,.ThemiddlecylinderischargedwithchargeQ=1.510-10C,andtheothertwoareuncharged.Determinethevoltagesbetweenthemiddlecylinderandtheothertwo.Neglecttheeffectoftheendofthecylinder.,题6.11：三个同轴的导电空心圆柱体，半径分别为a=0.5cm，b=1cm，andc=2cm，长度为d=10cm，中间的圆柱体充电Q=1.510-10C，其他两个圆柱体没有充电。计算中间圆柱体与其他两个圆柱体之间的电压（忽略圆柱体两端的边缘效应）。,解：分别在圆柱a，b，c之间的空腔内外做高斯闭合面，该闭合面的形状为圆柱体，高h，半径为r。,由高斯定律，系统空腔中的电场强度为：,由于高斯闭合面上、下两个底面的面积相同，但方向相反，因此，电场强度在这两个面上的积分相互抵消，只剩下侧面的积分，因此，上式可写为：,由于电荷分布在中间的圆柱面上，由静电场中导体的性质可知，中间的圆柱面内（包括最小的圆柱体内）的空间，电场为0（由于高斯面包围的电荷为0）,即：,当R=b时：,当bc时：,当bRc时：,当Rb时：,因此：,P7.6Determinethedensityofvolumepolarizationchargesinsidealinearbutinhomogeneousdielectricofpermittivity(x,y,z)atapointwheretheelectricfieldstrengthisE.Thereisnovolumedistributionoffreechargesinsidethedielectric.,题7.6：计算线性、非均匀电介质中的体极化电荷密度，介电常数为(x,y,z)，电场强度为E，介质内没有自由电荷的体分布。,解：由高斯定律的微分形式:,因此，介质中的体束缚电荷为：,因此：,由介质中高斯定理的微分形式：,代入前面的公式，则,则：,P8.1TwolargeparallelmetalplatesofareasSareadistancedapart,haveequalchargesofoppositesign,QandQ,andthedielectricbetweentheplatesishomogeneous.UsingGaussslaw,provethatthefieldbetweentheplatesisuniform.Calculatethecapacitanceofthecapacitorperunitareaoftheplates.,题8.1：两个面积为S，带有等量异号电荷Q和Q的大金属平板平行放置，相距为d，两平板之间的介质均匀，利用高斯定律证明：平板之间的电场均匀，计算平板电容器每单位面积的电容。,证明：先考虑一个无限大的金属平板，面电荷密度为，用一个底面积为s，高为2h的高斯圆柱面截取平板，因此，由高斯定律，平板两边的电场为：,由于h趋于0，因此,其方向如右上图所示，当两个带等量异号的平板放置在一起时，两极板外的电场正好相互抵消，极板中的电场相互叠加为：,因此，极板内的电场均匀。,两极板之间的电势差为：,电容为：,每单位面积的电容为：,P9.3:Asphericalcapacitorwithanairdielectric,ofelectroderadiia=10cmandb=20cm,ischargedwithamaximumchargeforwhichthereisstillnoairbreakdownaroundtheinnerelectrodeofthecapacitor.Determinetheelectricenergyofthesystem.,题9.3：一个球形电容器，电极半径分别为a=10cm和b=20cm，电极之间为空气，电容器被充电为最大电荷，但内部电极还没有空气击穿，请计算系统的电能量。,解：空气的击穿电场强度为：,在两电极之间做高斯面，由高斯定律，arb时：,由于内部电极还没有空气击穿，因此：,两极板间的电势差为：,因此，电容为：,电容器的能量为：,
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