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3.5洛朗级数展开,一.问题的提出,已知结果：当f(z)在圆|z-z0|R内解析，Taylor定理告诉我们，f(z)必可展开成幂级数。,问题是：当f(z)在圆|z-z0|R2外收敛。如果R2R1，那么双边幂级数就在环状域R2|z-z0|R1内收敛，所以R2|z-z0|R1给出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。,双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛。,正幂部分,负幂部分,收敛环R2|z-z0|R1,积分路径C为位于环域内按逆时针方向饶内圆一周的任一闭合曲线.,四.洛朗定理,证明:,为了避免讨论在圆周上函数的,解析性及级数的收敛性问题,将外圆稍微缩小为,内圆稍微扩大为,如图,应用复通区域上的柯西公式有,下面将展开为幂级数,对于沿的积分,展开如下:,而对于沿的积分,考虑到,用以下方法将其展开,把分别沿和的展开式代入下式,然后逐项积分可得,把第二部分中的k=-(l+1)代替l作为求和指标,并根据柯西定理,把积分回路改为,可得,其中,C为环域内沿逆时针方向饶内圆一周的任一闭回线,上式称之为,f(z)的洛朗展开,右端的级数称为洛朗级数,说明:,虽然级数中含有z-z0的负幂项,而这些项在z=z0时都是奇异的,但点z0可能是也可能不是函数f(z)的奇点,虽然展开系数ak的公式与泰勒展开系数ak的公式形式相同,但这里,不论z0是不是f(z)奇点.,如果z0不是奇点,则,因为,成立的条件是以C为边界的,区域上f(z)解析,但现在区域上有f(z)的奇点,(如果没有奇点,就不用考虑洛朗级数的展开),(3)如果只有环心z0是f(z)的奇点,则内圆半径可以任意小,同时z,可以无限接近z0,这个时候称为f(z)在它的孤立奇点z0的邻域内,的洛朗级数展开式,这种情况特别重要,以后将利用它研究函数在孤立奇点附近的性质.,(4)洛朗级数展开式也是唯一的,这点和泰勒级数是一致的,此唯一性使得可用不同的方法求得环域上解析函数的洛朗展开式,存在,但仍然不等于,例1:,在z0=0的邻域上把(sinz)/z展开,解:,函数(sinz)/z在原点没有定义,z0=0是奇点,引用sinz在原点的邻域上的展开式:,同时为了避开奇点,从复平面挖去奇点,在挖去奇点的复数平面上,用z遍除sinz的展开式,就得到(sinz)/z的展开式,如果我们定义一个函数f(z)如下:,则f(z)在整个开平面上是解析的,由上我们可得到f(z)在z0=0的,邻域上的展开式:,同时也是解析函数f(z)的泰勒级数!,例2:,解:,在的环域上将函数f(z)=1/(z2-1)展开为洛朗级数,在展开式中出现无限多负幂次项,但z=0本身不是函数的奇点,奇点为z=士1,例3:,在z0=1的邻域上把f(z)=1/(z2-1)展开为洛朗级数,解:,先把f(z)分解为分项公式,第二项只有一个奇点z=-1,因此可在z0=1的邻域|z-1|2上可以展,为泰勒级数如下:,由此我们可得,展开式里边出现了-1次项,例4:,解:,我们知道ex在原点邻域上的展开式为,把z全换成1/z,可得到以下结果:,即,这里出现无限多负幂项.,在z0=0的邻域上把展开为洛朗级数,例5:,解:,在z0=0的邻域上把展开为洛朗级数,由前边的结论我们可得绝对收敛级数,以上两个绝对收敛级数可以逐项相乘,乘积中既有无限多正幂项又有无限多负幂项,为了得到乘积中某个正幂zm,(1),(2),应取,(2)中所有各项分别用(1)中的l=n+m项去乘,为得到某个负幂项,z-h,应取(1)中所有项而分别用(2)中的n=l+h项去乘,由此可以得到以下结果:,将-h记为m,l记为n,则有,利用贝塞尔函数可以把上式写成,中括号里边是m阶贝塞尔函数Jm(x),应当指出,根据定理公式直接求一个函数的洛朗级数是很困难的,必须计算无穷多个积分才能得到,而不能像泰勒级数通过求导得,到,但是根据洛朗级数的唯一性,可以利用已知函数如,等的泰勒展开式和幂级数,的运算,特别是代数运算,变量代换,求导和积分等方法求一些,初等函数在指定圆环内的洛朗级数,直接利用公式只是个别情况!,
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