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第22讲与圆有关的位置关系,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,知识点四三角形的外接圆和内切圆,知识点一与圆有关的位置关系,1.与圆有关的位置关系,温馨提示点与圆的位置关系可通过d(点到圆心的距离)和r(圆的半径)之间的大小关系进行判断;直线与圆的位置关系可通过d(圆心到直线的距离)和r(圆的半径)之间的大小关系进行判断.,2.过同一直线上的三点不能作圆,不在同一直线上的三点确定一个圆.,知识点二切线的判定和性质1.切线的判定(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;(3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,2.切线的性质(1)切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.(2)推论1:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(3)推论2:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.温馨提示(1)要证的直线与圆有公共点,且存在连接公共点的半径,此时可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.口诀“见半径、证垂直”.(2)给出了直线与圆的公共点,但未给出过这点的半径,则连接公共点和圆心,根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.口诀“连半径、证垂直”.,(3)当直线与圆的公共点不明确时,则过圆心作该直线的垂线,然后根据“圆心到直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线”来证明.口诀是“作垂直、证相等”.,知识点三切线长定理1.切线长的定义:过圆外一点引圆的切线,这一点到切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长.,2.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的长相等,圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角.,知识点四三角形的外接圆和内切圆,温馨提示锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心在斜边的中点处;钝角三角形的外心在三角形的外部.所有三角形的内心都在三角形的内部.,知识点五正多边形与圆1.正多边形的相关概念(1)正多边形:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心:一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.(3)正多边形的半径:正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.(4)正多边形的中心角:正多边形的每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.(5)正多边形的边心距:正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.,2.正多边形和圆的有关计算如果把正n边形的有关元素:中心角、半径、边长、边心距、周长、面积分别用n、R、an、rn、Pn、Sn表示,那么:(1)n=;(2)R2=+;(3)Pn=nan;(4)Sn=nrnan=rnPn.,泰安考点聚焦,考点一点与圆的位置关系例1如图,在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点(格线的交点称为格点).如果以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中恰好有3个在圆内,则r的取值范围为(B),A.2rB.r3C.r5D.5r,解析如图,连接P1A,P2A,P8A.根据勾股定理得P1A=5,P2A=3,P3A=,P4A=5,P5A=,P6A=,P7A=5,P8A=2,P8AP3A=P6AP2AP1A=P4A=P7AP5A,除点A外恰好有三个格点在圆内,这三个格点为P3,P6,P8,5,则m=0;若d=5,则m=1;若1d5,则m=3;若d=1,则m=2;若d5时,m=0,故正确;当d=5时,m=1,故正确;当1d5时,m=2,故错误;当d=1时,m=3,故错误;当dr(圆的半径)时,相离;d=r时,相切;dr时,相交.,考点三切线的性质中考解题指导熟练掌握切线的性质定理及两个推论,以及常用辅助线的作法.,例3如图,I是ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,DEF=50,则A=80.,解析连接DI,FI,如图所示.DEF=50,DIF=2DEF=100,I是ABC的内切圆,ADI=AFI=90,A=360-ADI-AFI-DIF=80.,变式3-1(2018泰安)如图,BM与O相切于点B,若MBA=140,则ACB的度数为(A)A.40B.50C.60D.70,解析连接OA,OB,BM与O相切于点B,OBM=90.MBA=140,OBA=50.OA=OB,OAB=OBA=50,AOB=80,ACB=40,故选A.方法技巧已知圆的切线,若图中没有连接切点的半径,则需要连接切点与圆心构造直角三角形,利用勾股定理、锐角三角函数等知识进行解答.,考点四切线的判定例4(2017济宁)如图,已知O的直径AB=12,弦AC=10,D是的中点,过点D作DEAC,交AC的延长线于点E.(1)求证:DE是O的切线;(2)求AE的长.,解析(1)证明:连接OD.D为的中点,的长=的长.BOD=BAE,ODAE.DEAC,交AC的延长线于点E,ODDE,则DE为O的切线.(2)过点O作OFAC,AC=10,AF=CF=AC=5,OFE=DEF=ODE=90,四边形OFED为矩形,FE=OD=AB,AB=12,FE=6,则AE=AF+FE=5+6=11.,变式4-1(2018潍坊)如图,BD为ABC外接圆O的直径,且BAE=C.(1)求证:AE与O相切于点A;(2)若AEBC,BC=2,AC=2,求AD的长.,解析(1)证明:连接OA交BC于点F,则OA=OD,D=DAO,D=C,C=DAO,BAE=C,BAE=DAO,BD是O的直径,DAB=90,即DAO+OAB=90,BAE+OAB=90,即OAE=90,AEOA,AE与O相切于点A.(2)AEBC,AEOA,OABC,的长=的长,FB=BC,AB=AC,BC=2,AC=2,BF=,AB=2.,在RtABF中,AF=1,在RtOFB中,OB2=BF2+(OA-AF)2,即OB2=BF2+(OB-AF)2,OB=4,BD=8,在RtABD中,AD=2.方法技巧证明圆的切线有三种思路:有过切点的半径,证明垂直;有切点,无半径,连半径,证明垂直;无切点,作垂直,证明相等.,一、选择题1.若A的半径为5,点A的坐标为(3,4),点P的坐标为(5,8),则点P的位置为(A)A.在A内B.在A上C.在A外D.不确定,随堂巩固训练,2.如图,两个圆的圆心都是点O,AB是大圆的直径,大圆的弦BC所在直线与小圆相切于点D.则下列结论不一定成立的是(C)A.BD=CDB.ACBCC.AB=2ACD.AC=2OD,3.(2017日照)如图,AB是O的直径,PA切O于点A,连接PO并延长交O于点C,连接AC,AB=10,P=30,则AC的长度是(A)A.5B.5C.5D.,4.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)的直径是多少?”(C)A.3步B.5步C.6步D.8步,5.(2018烟台)如图,四边形ABCD内接于O,点I是ABC的内心,AIC=124,点E在AD的延长线上,则CDE的度数为(C)A.56B.62C.68D.78,6.如图,O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PB切O于点B,则PB的最小值是(B)A.B.C.3D.2二、填空题,7.已知正六边形的边心距为,则它的周长是12.解析如图,连接OA,OB,作OHAB于H.六边形ABCDEF是正六边形,AOB=360=60,OA=OB,OAB是等边三角形,OAH=60,OHAB,OH=,OA=2,AB=OA=2,该正方形的周长是26=12.,8.如图,PA,PB是O的切线,A,B为切点,AC是O的直径,若P=46,则BAC=23度.,解析PA,PB是O的切线,PA=PB,又P=46,PAB=PBA=67,又PA是O是切线,AO为半径,OAAP,OAP=90,BAC=OAP-PAB=90-67=23.,9.直角三角形的两边长分别为16和12,则此三角形外接圆的半径是10或8.解析当直角三角形的斜边长为16时,这个三角形外接圆的半径为8;当两条直角边长分别为16和12,则直角三角形的斜边长=20,因此这个三角形外接圆的半径为10.综上所述,这个三角形外接圆的半径等于8或10.,10.如图,APB=30,圆心在边PB上的O半径为1cm,OP=3cm,若O沿BP方向移动,当O与PA相切时,圆心O移动的距离为1或5cm.,解析如图,设O移动到O1,O2位置时与PA相切.,当O移动到O1时,O1DP=90.APB=30,O1D=1cm,PO1=2cm.OP=3cm,OO1=1cm;当O移动到O2时,O2EP=90.,APB=30,O2E=1cm,O2PE=30,PO2=2cm.OP=3cm,OO3=5cm.综上所述,当O与PA相切时,圆心O移动的距离为1或5cm.,三、解答题11.(2017德州)如图,已知RtABC,C=90,D为BC的中点,以AC为直径的O交AB于点E.(1)求证:DE是O的切线;(2)若AEEB=12,BC=6,求AE的长.,解析(1)证明:连接OE,EC.AC是O的直径,AEC=BEC=90,D为BC的中点,ED=DC=BD,1=2.OE=OC,3=4,1+3=2+4,即OED=ACB.ACB=90,OED=90,DE是O的切线.(2)由(1)知:BEC=90,在RtBEC与RtBCA中,B=B,BEC=BCA,BECBCA,=,BC2=BEBA,AEEB=12,设AE=x,则BE=2x,BA=3x,BC=6,62=2x3x,解得x=(舍负),即AE=.,
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