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1,7.1点估计方法,7.1.1点估计的思想方法,2,7.1.2点估计量的求法,由于估计量是样本的函数,是随机变量,故对不同的样本值,得到的参数值往往不同,如何求估计量是关键问题.,3,常用构造估计量的方法:(两种),矩估计法和最大似然估计法.,1.矩估计法,其基本思想是用样本矩估计总体矩.,理论依据:,它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法.,是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的.,大数定律,4,方法,用样本k阶矩作为总体k阶矩的估计量,建立含有待估参数的方程,从而解出待估参数,记总体k阶矩为,样本k阶矩为,记总体k阶中心矩为,样本k阶中心矩为,5,i=1,2,k,从这k个方程中解出,那么用诸的估计量Ai分别代替上式中的诸,即可得诸的矩估计量：,j=1,2,k,j=1,2,k,6,一般,不论总体服从什么分布,总体期望与方差2存在,则它们的矩估计量分别为,代入一组样本值得k个数,即为未知参数,1,k的矩估计值.,7,事实上，按矩法原理，令,8,例1设总体XN(,2),X1,X2,Xn为总体的样本,求,2的矩法估计量.,解,例2设总体XE(),X1,X2,Xn为总体的样本,求的矩法估计量.,解,则,故,9,例3设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机抽取10只灯泡，测得其寿命为(单位:小时)1050,1100,1080,1120,12001250,1040,1130,1300,1200试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均寿命及寿命分布的方差.,解,10,例4设总体XU(a,b),a,b未知,求参数a,b的矩法估计量.,解,由于,令,11,解得,12,矩估计法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布.,缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息.一般场合下,矩估计量不具有唯一性.,其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性.,13,2.最大似然估计法,是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.,它首先是由德国数学家Gauss在1821年提出的,然而，这个方法常归功于英国统计学家Fisher.,Gauss,Fisher,Fisher在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质.,14,基本思想：一次试验就出现的事件有较大的概率,例如:有两外形相同的箱子,各装100个球一箱99个白球1个红球一箱1个白球99个红球,现从两箱中任取一箱,并从箱中任取一球,结果所取得的球是白球.,答:第一箱.,问:所取的球来自哪一箱？,15,最大似然估计原理：,设X1,X2,Xn是取自总体X的一个样本，样本的联合密度(连续型)为.,或联合概率函数(离散型),16,当给定样本值x1,x2,xn时，定义似然函数为：,最大似然估计法就是用使达到最大值的去估计.,看作参数的函数，它可作为将以多大可能产生样本值x1,x2,xn的一种度量.,17,称这样得到的,为参数的最大似然估计值,称统计量,为参数的最大似然估计量,简记,简记,18,求最大似然估计的步骤:,19,对数似然方程,最大似然估计法也适用于分布中含有多个未知参数的情况.此时只需令,对数似然方程组,20,解,似然函数,例5,21,这一估计量与矩估计量是相同的.,22,解,例6,23,这一估计量与矩估计量是相同的.,24,例7设总体XN(,2),x1,x2,xn是X的样本值,求,2的最大似然估计.,解,25,2的最大似然估计量分别为,它们与相应的矩估计量相同,26,说明：用上述求导方法求参数的MLE有时行不通，这时要用最大似然原则来求.,例8设XU(a,b),x1,x2,xn是X的一个样本值,求a,b的最大似然估计值与最大似然估计量.,27,似然函数为,似然函数只有当axib,i=1,2,n时才能获得最大值,且a越大,b越小,L越大.,令,xmin=minx1,x2,xnxmax=maxx1,x2,xn,取,28,都有,故,是a,b的最大似然估计值.,分别是a,b的最大似然估计量.,29,说明：待估参数的MLE可能不存在，也可能不唯一.,最大似然估计的一个性质,设是的最大似然估计值,u(),()是的函数,且有单值反函数,=(u),uU则是u()的最大似然估计值.,30,如在正态总体N(,2)中,2的最大似然估计值为,lg的最大似然估计值为,
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