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第4讲圆,第1课时,圆的基本性质,1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、,等弧的概念.,2.探索圆周角与圆心角及其所对的弧的关系.,3.了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补.,1.如图4-4-1，BC是O的直径，点A是O上异于B，C,的一点，则A的度数为(,)图4-4-1,A.60,B.70,C.80,D.90,答案：D,2.(2017年重庆)如图4-4-2，OA，OC是O的半径，点B在O上，连接AB，BC，若ABC40，则AOC_.,图4-4-2,答案：80,3.(2017年北京)如图4-4-3，AB为O的直径，C，D为O上的点，ADCD.若CAB40，则CAD_.,图4-4-3,答案：25,4.(2017年甘肃白银)如图4-4-4，ABC内接于O，若,OAB32，则C_.,图4-4-4,答案：58,5.如图4-4-5，AB是O的弦，半径OCAB于点D，且,AB8，OC5，则DC_.,图4-4-5,ADAB4.,解析：如图D29，连接OA.,图D29,OCAB，,12,在RtOAD中，OA5，AD4，DCOCOD2.答案：2,(续表),(续表),垂径定理及其应用,例1：(2017年四川眉山)如图4-4-6，AB是O的弦，半径OCAB于点D，且AB8cm，DC2cm，则OC_cm.,图4-4-6,思路分析连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定,理R242(R2)2，计算求出R即可.,解析：连接OA，如图4-4-7，OCAB，,图4-4-7,设O的半径为R，由勾股定理，得OA2AD2OD2.R242(R2)2.解得R5.,OC5cm.答案：5,【试题精选】1.(2016年湖北黄石)如图4-4-8，O的半径为13，弦AB,的长度是24，ONAB，垂足为N，则ON(,),图4-4-8A.5B.7C.9D.11解析：由题意，得OA13，ONA90，AB24.答案：A,2.如图4-4-9，AB是O的直径，弦CDAB于点E，若,AB8，CD6，则BE_.,图4-4-9,解题技巧垂径定理及其推论是证明两线段相等、两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长的计算中常常需要添加辅助线(半径或弦心距).利用垂径定理及其推论(“平分弦”为条件时，弦不能是直径)，将其转化为直角三角形，应用勾股定理计算.,圆心角、圆周角、弦、弧间的关系例2：(2017年山东青岛)如图4-4-10，AB是O的直径，,),C，D，E在O上，若AED20，则BCD的度数为(图4-4-10,A.100,B.110,C.115,D.120,解析：如图4-4-11，连接AD，BD，AED20，ABDAED20.AB是O的直径，ADB90.,图4-4-11,BAD70.BCD110.答案：B,名师点评运用圆周角定理计算时，注意在同圆或等圆的前提下，同弧或相等的弧所对的圆周角相等，正确找出弧和角之间的关系是解题的关键，还要注意直径所对的圆周角是直角以及圆的内接四边形对角互补这些定理的运用.,【试题精选】3.(2016年浙江绍兴)如图4-4-12，BD是O的直径，点A，,图4-4-12,A.60,B.45,C.35,D.30,答案：D,图4-4-13,A.51,B.56,C.68,D.78,答案：A,5.(2017年福建)如图4-4-14，AB是O的直径，C，D是O上位于AB异侧的两点.下列四个角中，一定与ACD互余,的角是(,),图4-4-14,A.ADC,B.ABD,C.BAC,D.BAD,解析：AB是直径，ADB90.BADB90.ACDB，BADACD90.故选D.答案：D,6.(2017年四川自贡)如图4-4-15，等腰三角形ABC内接于O，已知ABAC，ABC30，BD是O的直径，如果,图4-4-15答案：4,1.(2017年广东)如图4-4-16，四边形ABCD内接于O，DA,),DC，CBE50，则DAC的大小为(图4-4-16,A.130,B.100,C.65,D.50,答案：C,2.(2014年广东)如图4-4-17，在O中，已知半径为5，弦,AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为_.,图4-4-17,答案：3,3.(2012年广东)如图4-4-18，A，B，C是O上的三个点，,ABC25，则AOC的度数是_.,图4-4-18,答案：50,4.(2016年广东)如图4-4-19，点P是四边形ABCD外接圆O上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是O的直径，ABBCCD，连接PA，PB，PC，若PAa，则点A到PB和PC的距离之和AEAF_.图4-4-19,5.(2015年广东)O是ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作O的直径PG交弦BC于点D，连接AG，CP，PB.(1)如图4-4-20(1)，若D是线段OP的中点，求BAC的度数；(2)如图4-4-20(2)，在DG上取一点K，使DKDP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；(3)如图4-4-20(3)，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PHAB.,(1),(3),(2)图4-4-20,(1)解：点P为的中点，AB为O直径，BPPC，PGBC，CDBD.ODB90.D为OP的中点，,OBD30.BOD60.,AB为O直径，ACB90.ACBODB.ACPG.BACBOD60.,(2)证明：由(1)知，CDBD.,PDBKDC(SAS)CKBP，OPBCKD.AOGBOP，AGBP.AGCK.OPOB，OPBOBP.又GOBP.GOPB.GCKD.AGCK.四边形AGKC是平行四边形,(3)证明：CEPE，CDBD，DEPB，即DHPB.GOPB，PBAG.DHAG.OAGOHD.OAOG.OAGG.ODHOHD.ODOH.,OBDOPH(SAS)OHPODB90.PHAB.,
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