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2020/4/26,1,第一章复数与复变函数,2020/4/26,2,1.1复数,一、复数的基本概念,2020/4/26,3,二、复数的代数运算,1.复数的和、差、积、商、模,和与差：,积：,商：,复数的运算满足交换律、结合律、分配律,模：,2020/4/26,4,2共扼复数及性质,重要性质：,2020/4/26,5,例1(2),解：,2020/4/26,6,例1(3),解：,2020/4/26,7,练习：计算复数,解：,2020/4/26,8,1.2复数的表示法,1.2.1、复平面,定义：,复数的模：,复数的辐角：,辐角主值：,即：一复数的辐角Argz是多值的,主幅角值的确定：,2020/4/26,10,二、复数的表示法,1复数的向量表示法,因此,复数、复平面上点、向量之间一一对应,2020/4/26,11,2复数的三角表示法,利用直角坐标与极坐标的关系：,复数的三角表示式：,3复数的指数表示法,利用欧拉公式：,复数的指数表示式：,注意：复数的三角表示式不是唯一的，因为辐角有无穷多种选择，如果有两个三角表示式相等：,则可以推出：,练习,辐角主值：,解：,模,2020/4/26,14,1.2.3、复数的三角不等式法,不等式：,2020/4/26,16,1.2.4、复数的三角表示及指数表示作乘除法,即：,模,辐角,定理1：两个复数乘积的模等于它们模的乘积，辐角等于它们的辐角之和,2020/4/26,17,定理2：两复数的商的模等于它们模的商，辐角等于被除数与除数的辐角之差,2020/4/26,19,例5利用复数的三角表示式计算,例6利用复数的三角表示式计算,2020/4/26,21,练习：利用复数三角表达式计算,解：,2020/4/26,22,四、复数的乘方与开方、棣摩弗公式,1乘方公式,这公式称棣摩弗公式,2开方公式,2020/4/26,23,例7计算,解：,例8求的全部值,解：,2020/4/26,25,练习：计算：,解：,2020/4/26,26,练习,解：,其解为,2020/4/26,27,二、区域,1连通：,设G中任何两点都可以用完全属于G的折线连接起来，则称G是连通的,2区域：,连通的开集称为区域，记为D,3闭区域：,区域D与它的边界一起构成闭区域，,4圆环域：,5.角形域：,2020/4/26,28,3单连通区域与多连通区域,设D为一平面区域，若在D中任作一条简单闭曲线，而曲线内部总属于D，,则称D为单连通区域，否则是多连通区域,单连通区域的特征：属于D的任何一条简单闭曲线，在D内可经过连续变形而缩成一点,单连通区域,多连通区域,洞,29,例1求满足下列关系的点集E，如果是区域，说明是单连通区域还是多连通区域.,2020/4/26,30,第五节复变函数,一、复变函数的概念,按照这一法则，,1定义：,设,设是一个复数的集合，,如果有一个确定的法则存在，,对于集合众的每一个复数,都有一个或几个复数,与之对应，,那么称,是,的复变函数，,记作：,2020/4/26,31,例,解：,2复变函数与二元函数的关系,2020/4/26,32,二、复变函数的极限和连续,1复变函数的极限,定义1,解：,2020/4/26,34,定理1设函数,证明：,说明：,这个定理是将复变函数,的极限问题转化为求两个二元函数,的极限问题.,2020/4/26,35,定理2如果,2020/4/26,36,2复变函数的连续性,定理3函数,说明：,复变函数的极限与连续性的定义与实函数的极限与连续性的定义形式上完全相同，因此高等数学中的有关定理依然成立,
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