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第七节二次函数的综合应用,考点一线段、周长问题例1(2017东营中考)如图，直线yx分别与x轴、y轴交于B，C两点，点A在x轴上，ACB90，抛物线yax2bx经过A，B两点,(1)求A，B两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MHBC于点H，作MDy轴交BC于点D，求DMH周长的最大值,【分析】(1)由直线解析式可求得B，C坐标，再利用相似三角形可求得OA，从而可求出A点坐标；(2)利用待定系数法可求得抛物线解析式；(3)根据题意可推出当MD取得最大值时，DMH的周长最大，利用二次函数的性质得出最大值,【自主解答】(1)直线yx分别与x轴、y轴交于B，C两点，点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，)ACOBCO90，ACOCAO90，CAOBCO.AOCCOB90，AOCCOB，点A的坐标为(1，0),(2)抛物线yax2bx经过A，B两点，抛物线的解析式为y,(3)由题意知，DMH为直角三角形，且M30，当MD取得最大值时，DMH的周长最大,1(2014临沂中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(1，0)和点B(1，0)，直线y2x1与y轴交于点C，与抛物线交于点C，D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点A到直线CD的距离；,(3)平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G，P，Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标,解：(1)直线y2x1，当x0时，y1，则点C坐标为(0，1)设抛物线的解析式为yax2bxc.点A(1，0)，B(1，0)，C(0，1)在抛物线上，抛物线的解析式为yx21.,(2)直线y2x1，当y0时，x.如图，过点A作AFCD于点F.设直线CD交x轴于点E，则E(，0),在RtOCE中，OC1，OE，由勾股定理得CE.设OEC，则sin，cos.则AFAEsin(OAOE)sin(1)，点A到直线CD的距离为.,(3)平移后抛物线的顶点P在直线y2x1上，设P(t，2t1)，则平移后抛物线的解析式为y(xt)22t1.联立化简得x2(2t2)xt22t0，解得x1t，x2t2，即点P，Q的横坐标相差2，PQ,GPQ为等腰直角三角形，可能有以下情形：,若点P为直角顶点，如图1，则PGPQ2.CGOGCGOC1019，G(0，9),若点Q为直角顶点，如图2，则QGPQ2.同理可得G(0，9)若点G为直角顶点，如图3，分别过点P，Q作y轴的垂线，垂足分别为点M，N.此时PQ2，则GPGQ.易证RtPMGRtGNQ，,GNPM，GMQN.在RtQNG中，由勾股定理得GN2QN2GQ2，即PM2QN210.点P，Q横坐标相差2，NQPM2，PM2(PM2)210，解得PM1，NQ3.直线y2x1，当x1时，y1，,P(1，1)，即OM1，OGOMGMOMNQ134，G(0，4)综上所述，符合条件的点G有两个，其坐标为(0，4)或(0，9),考点二图形面积问题例2(2015临沂中考)在平面直角坐标系中，O为原点，直线y2x1与y轴交于点A，与直线yx交于点B，点B关于原点的对称点为C.(1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q.,当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；若点P的横坐标为t(1t1)，当t为何值时，四边形PBQC面积最大，并说明理由,【分析】(1)联立两直线解析式可求得B点坐标，由关于原点对称可求得C点坐标，由直线y2x1可求得A点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)当四边形PBQC为菱形时，可知PQBC，则可求得直线PQ的解析式，联立抛物线解析式可求得P点坐标；过点P作PDy轴，交直线yx于点D，分别过点B，C作BEPD，CFPD，垂足分别为E，F，设D(t，t)，则可用t表示出S四边形PBQC，利用二次函数的性质求得最大值即可,【自主解答】(1)解方程组点B的坐标为(1，1)点C和点B关于原点对称，点C的坐标为(1，1)又点A是直线y2x1与y轴的交点，点A的坐标为(0，1),设抛物线的解析式为yax2bxc，抛物线的解析式为yx2x1.,(2)如图，,点P在抛物线上，可设点P的坐标为(m，m2m1)当四边形PBQC是菱形时，O为菱形的中心，PQBC，即点P，Q在直线yx上，mm2m1，解得m1.点P的坐标为(1，1)或(1，1),如图，设点P的坐标为(t，t2t1)过点P作PDy轴，交直线yx于点D，分别过点B，C作BEPD，CFPD，垂足分别为E，F.,则D(t，t)PDt(t2t1)t21，BECF2，SPBCPDBEPDCFPD(BECF)(t21)2t21，S四边形PBQC2t22，当t0时，S四边形PBQC有最大值2.,2(2018遂宁中考)如图，已知抛物线yax2x4的对称轴是直线x3，且与x轴相交于A，B两点(B点在A点右侧)，与y轴交于C点(1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；(2)若点P是抛物线上B，C两点之间的一个动点(不与B，C重合)，则是否存在一点P，使PBC的面积最大若存在，请求出PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；,(3)若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN3时，求M点的坐标,解：(1)抛物线yax2x4的对称轴是直线x3，3，解得a，抛物线的解析式为yx2x4.当y0时，x2x40，解得x12，x28，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(8，0),(2)当x0时，yx2x44，点C的坐标为(0，4)设直线BC的解析式为ykxb(k0)将B(8，0)，C(0，4)代入ykxb得直线BC的解析式为yx4.,假设存在，设点P的坐标为(x，x2x4)如图，过点P作PDy轴，交直线BC于点D，,则点D的坐标为(x，x4)，PDx2x4(x4)x22x，SPBCPDOB8(x22x)x28x(x4)216.10，当x4时，PBC的面积最大，最大面积是16.0x8，存在点P，使PBC的面积最大，最大面积是16.,(3)设点M的坐标为(m，m2m4)，则点N的坐标为(m，m4)，MN|m2m4(m4)|m22m|.又MN3，|m22m|3.当0m8时，有m22m30，解得m12，m26，,点M的坐标为(2，6)或(6，4)当m0或m8时，有m22m30，解得m342，m442，点M的坐标为(42，1)或(42，1)综上所述，M点的坐标为(42，1)，(2，6)，(6，4)或(42，1),考点三动点、存在点问题例3(2016临沂中考)如图，在平面直角坐标系中，直线y2x10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是(8，4)连接AC，BC.(1)求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断ABC的形状；,(2)动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为ts，当t为何值时，PAQA;,(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由,【分析】(1)先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式，用勾股定理的逆定理判断出ABC是直角三角形；(2)设运动时间为ts时，OP2t，CQ10t，在RtAOP和RtACQ中，用含t的式子表示出PA2和QA2，由PAQA求得t的值即可；(3)分三种情况，用平面坐标系内两点间的距离公式计算即可,【自主解答】(1)在直线y2x10上，令y0得x5，令x0得y10，即A(5，0)，B(0，10)点A(5，0)，C(8，4)，O(0，0)在抛物线yax2bxc上，,抛物线的解析式为yx2x.AC2(85)24225，BC282(104)2100，AB252102125，AC2BC2AB2，ABC是直角三角形,(2)设运动时间为ts时，OP2t，BQt，则CQ10t.当点P运动到端点时，t5，当t5时，BQ510，t的取值范围是0t5.在RtAOP和RtACQ中，PA2OA2OP2254t2，,QA2QC2AC225(10t)2t220t125.PAQA，PA2QA2，即t220t125254t2，解得t110(舍去)，t2，即运动时间为s时，PAQA.,(3)抛物线与x轴交于O(0，0)，A(5，0)两点，对称轴为x.设存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形，设M(，y)，AM2(5)2y2y2，BM2()2(10y)2y220y100.,当AMAB时，则AM2AB2，即y2125，解得y1，y2，此时点M的坐标为(，)或(，),当BMAB时，则BM2AB2，即y220y100125.解得y110，y210，此时点M的坐标为(，10)或(，10),当AMBM时，则AM2BM2，即y2y220y100，解得y5，此时点M的坐标为(，5)，恰好是点AB的中点，不能构成三角形，故舍去综上所述，存在点M使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形，此时点M的坐标为,3(2018临沂中考)如图，在平面直角坐标系中，ACB90，OC2OB，tanABC2，点B的坐标为(1，0)，抛物线yx2bxc经过A，B两点(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PEDE.,求点P的坐标；在直线PD上是否存在点M，使ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在请说明理由,解：(1)在RtABC中，由点B的坐标可知OB1.OC2OB，OC2，则BC3.又tanABC2，AC2BC6，则点A的坐标为(2，6)把点A，B的坐标代入抛物线yx2bxc中得该抛物线的解析式为yx23x4.,(2)由点A(2，6)和点B(1，0)的坐标易得直线AB的解析式为y2x2.,如图，设点P的坐标为(m，m23m4)，则点E的坐标为(m，2m2)，点D的坐标为(m，0)，则PEm2m2，DE2m2.由PEDE得m2m2(2m2)，解得m1.又2m1，m1，点P的坐标为(1，6),M在直线PD上，且P(1，6)，设M(1，y)，AM2(12)2(y6)21(y6)2，BM2(11)2y24y2，AB2(12)26245.分三种情况：()当AMB90时，有AM2BM2AB2，1(y6)24y245，解得y3，M(1，3)或(1，3)；,()当ABM90时，有AB2BM2AM2，454y21(y6)2，解得y1，M(1，1)()当BAM90时，有AM2AB2BM2，1(y6)2454y2，解得y，M(1，),综上所述，点M的坐标为(1，3)或(1，3)或(1，1)或(1，),考点四二次函数综合题百变例题(2018济宁中考)如图，已知抛物线yax2bxc(a0)经过点A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)(1)求该抛物线的解析式；(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；,(3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由,【分析】(1)已知A，B两点坐标，可得ya(x3)(x1)，再将点C坐标代入即可解得；(2)过点A作AMBC，利用全等三角形求出点N的坐标，再利用待定系数法求出直线AM的解析式，同理可求出直线BC的解析式，联立求出M坐标即可；(3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况，利用平移规律确定出P的坐标即可,【自主解答】(1)抛物线yax2bxc(a0)经过点A(3，0)，B(1，0)，ya(x3)(x1)又抛物线经过点C(0，3)，3a(03)(01)，解得a1，抛物线的解析式为y(x3)(x1)，即yx22x3.,(2)如图，过点A作AMBC，垂足为点M，AM交y轴于点N，,BAMABM90.在RtBCO中，BCOABM90，BAMBCO.A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)，AOCO3，OB1.,又BAMBCO，BOCAON90，AONCOB，ONOB1，N(0，1),设直线AM的函数解析式为ykxb，把A(3，0)，N(0，1)代入得直线AM的函数解析式为yx1.同理可求直线BC的函数解析式为y3x3.解方程组得切点M的坐标为,(3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形设Q(t，0)，P(m，m22m3)分两种情况考虑：当四边形BCQP为平行四边形时，由B(1，0)，C(0，3)，根据平移规律得1m0t，0(m22m3)30，解得m1.,当m1时，m22m3822233，即P(1，3)；当m1时，m22m3822233，即P(1，3)当四边形BCPQ为平行四边形时，由B(1，0)，C(0，3)，根据平移规律得1t0m，003(m22m3)，解得m0或2.,当m0时，P(0，3)(舍去)；当m2时，P(2，3)综上所述，存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为(1，3)或(1，3)或(2，3),变式1：若点D是抛物线的顶点，求ACD面积与ABC面积的比解：如图，连接AC，AD，CD，作DLx轴于点L.,SACDS梯形OCDLSADLSAOC(34)124333，SABCABOC436，SACDSABC3612.,变式2：若E是x轴上一个动点，过E作射线EFBC交抛物线于点F，随着E点的运动，在抛物线上是否存在这样的点F，使以B，E，F，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由,解：存在理由如下：,如图，当点F在x轴下方时，作FRx轴于点R.四边形BCFE为平行四边形，EF綊BC，ERFBOC，RFOC3，3x22x3，解得x2或x0(与C点重合，舍去)，F(2，3),如图，当F在x轴上方时，作FSx轴于点S.,四边形BCEF为平行四边形，EF綊BC，EFSBCO，FSOC3，3x22x3，解得x11，x21.综上所述，F点为(2，3)或(1，3)或(1，3),变式3：如图，若点G是线段AC上的点(不与A，C重合)，过G作GHy轴交抛物线于H，若点G的横坐标为m，请用m的代数式表示GH的长,解：设直线AC的解析式为ykx3，则有03k3，解得k1，故直线AC的解析式为yx3.已知点G的横坐标为m，则G(m，m3)，H(m，m22m3)，GHm3(m22m3)m23m(0m3),变式4：若对称轴是直线l，在对称轴l上是否存在点W，使WBC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点W的坐标；若不存在，请说明理由,解：存在点W的坐标为(1，0)或(1，)或(1，)或(1，1)提示：设对称轴上的点W为(1，m)，BC，WBWCWBC为等腰三角形：当BCWC时，,解得m0(m6时，W，B，C三点共线，舍去)；当WBWC时，解得m1；当BCWB时，解得m.综上所述，点W的坐标为(1，0)或(1，)或(1，)或(1，1),
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