《向量及其线性运算》PPT课件.pptx

1,第一章向量代数,要点空间结构解析化思想向量概念及其与数量的区别向量的各种基本运算及其几何意义向量代数运算应用于几何证明,2,1向量及其线性运算,向量的初等几何背景向量代数是平面几何解析化的自然工具之一由于所运用的向量是所谓的自由向量，欧氏几何中的平行性质被自然地隐含在向量的表示及其运算之中同时，向量之间的垂直关系也可以方便地用代数式子表示向量的初等物理背景力、速度、位移,三维欧氏空间E3中的向量及其向量空间R3概念向量及其表示向量的线性运算加法数乘几何应用例示线性相关与共线、共面定比分点问题,3,1E3中的向量及其表示,数量与向量（矢量）向量的两个基本要素大小方向向量的几何表示有向线段模长（模），方向起点（始点）和终点（终端点）自由向量,记号约定：任意给定空间中的两个点A和B，通常以AB记连接两点的线段及其长度；通常记从A到B的有向线段以及所对应的向量为AB或,AB的模长ABAB.向量之间的基本关系相等；平行（共线），；,4,1E3中的向量及其表示,向量之间的基本关系相等；平行（共线），；方向相同（同向），方向相反（反向）；,反向量ABBAAB；零向量AA0,常见其他关系例示垂直；共面,5,2向量的加法运算,向量加法的定义向量a与向量b的和向量ab；三角形法则；平行四边形法则,向量加法的运算律交换律abba；结合律abcabc；,6,2向量的加法运算,向量加法的定义向量加法的运算律交换律abba；结合律abcabcabc；,零元素0的性质a0a，aa0,7,2向量的加法运算,向量加法的运算律交换律；结合律；零元素0的性质,三角不等式（三角形不等式）abab，并且等号成立的充要条件为a与b同向有限个向量之和的基本性质任意交换求和次序；任意结合各个部分；首尾相接作图法；三角不等式的推广,8,2向量的加法运算,向量加法的逆运算向量减法的定义向量a与向量b的差向量ab使abba；它是加法的逆运算：abab,向量减法的运算律归结为加法的运算律向量减法的性质归结为加法的性质问：交换律是否成立？三角不等式如何变形？,9,向量的数乘运算,向量数乘的定义数量与向量a的乘积向量a确定为aa，a与signa同向,非零向量的单位化模长为1的向量称为单位向量；任何给定的非零向量a都可以单位化为a0，即,向量数乘的运算律结合律aa；分配律aaa，abab,10,向量的数乘运算,向量数乘的定义向量数乘的运算律结合律aa；分配律aaa，abab,结合律的验证：模长，两端相等；方向，完全分类讨论；按符号分别证明,分配律1的验证：方法同上可验证分配律2的验证：按的符号分别讨论当0时，ab0ab；当0时，证法一：取相同起点，则由相应平行四边形（或蜕化）的相似关系可证两端相等；证法二：教材图1-10.,11,向量的数乘运算,向量数乘的定义向量数乘的运算律aa；aaa，abab,分配律2的验证：按的符号分别讨论当0时，成立；当0时，成立；当0时，有,abab，左右移项，既得abab，再由结合律，此即abab，结论仍然成立；综合以上三种情形，得证问：数乘关于减法的分配律如何？,12,向量线性运算的几何应用例示,向量的上述加法和数乘运算共同构成线性运算，使得上述向量全体成为三维向量空间几何应用例示线性相关与共线、共面；定比分点问题定理1.1对于非零向量a0和b，有充要条件baR,使ba证法分析注意到几何意义，利用定义可证,证明：由数乘定义和平行（共线）定义，显然：现在已知a0和ba，故有ba0，从而,13,向量线性运算的几何应用例示,定理1.1对于非零向量a0和b，有充要条件baR，使ba证明：由数乘定义和平行（共线）定义，显然：现在已知a0和ba，故有ba0，从而,bba0(b/a)a现取(b/a)R，则得ba综合上述结论，得证推论ba(,)(0,0)，使ab0.证明：当a0时，只要任取0，并取0，便得(,)(0,0)，使ab0,14,向量线性运算的几何应用例示,定理1.1对于非零向量a0和b，有充要条件baR，使ba推论ba(,)(0,0)，使ab0.证明：当a0时，只要任取0，并取0，便得(,)(0,0)，使ab0,当a0时，由定理结论，此时R，使ba只要再取1，便得(,)(0,0)，使ab0综合以上两种情形，必要性得证,15,向量线性运算的几何应用例示,推论ba(,)(0,0)，使ab0.证明：当a0时，只要任取0，并取0，便得(,)(0,0)，使ab0当a0时，由定理结论，此时R，使ba只要再取1，便得(,)(0,0)，使ab0综合以上两种情形，必要性得证,：不妨设0，则a(/)b由数乘定义和平行（共线）定义，显然ba结论得证,16,向量线性运算的几何应用例示,定理1.2对于不共线向量a和b，以及c，有充要条件c与a，b共面(,)R2，使cab.,证明：由加法定义和数乘定义，当起点公共取为同一点时，c落在由a和b所张成的平面之内，因而共面：取同一起点O，现在在由a和b所张成的平面之内，过c终点分别作a和b的平行线，交a和b所在直线于点A和B,17,向量线性运算的几何应用例示,定理1.2对于不共线向量a和b，以及c，有充要条件c与a，b共面(,)R2，使cab,证明：取同一起点O，现在在由a和b所张成的平面之内，过c终点分别作a和b的平行线，交a和b所在直线于点A和B,则OA和a共线，OB和b共线，并且cOAOB注意到a和b都是非零向量，由定理1.1可知，,18,向量线性运算的几何应用例示,定理1.2对于不共线向量a和b，以及c，有充要条件c与a，b共面(,)R2，使cab,证明：则OA和a共线，OB和b共线，并且cOAOB注意到a和b都是非零向量，由定理1.1可知，,R，使OAa，R，使OBb此时cab，必要性得证综合上述结论，得证,19,向量线性运算的几何应用例示,定理1.2对于不共线向量a和b，以及c，有充要条件c与a，b共面(,)R2，使cab,推论a,b,c共面(,)(0,0,0)，使abc0证法：仿照定理1.1推论可证（习题一第13题）问：三个向量共面与四点共面有何关系？两个向量共线与三点共线有何关系？,20,向量线性运算的几何应用例示,点与向量的约定对应在E3中取定起点O，任取点AE3则点与向量之间有自然的对应A向量OA；其中向量OA称为点A的位置向量（或向径，定位向量，半径向量），简记为A,线段的中点公式线段P1P2的中点M确定为OMOP1P1MOP1P1P2/2,21,向量线性运算的几何应用例示,线段的中点公式P1P2的中点M确定为OMOP1P1MOP1P1P2/2OP1(OP2OP1)/2(OP1OP2)/2，,可简记为M(P1P2)/2推论：平行四边形的两条对角线互相平分问：一般定比分点？在线段P1P2（或其延长线）之上求一点P，使得有向长度之比给定为P1P:PP21:2.,22,向量线性运算的几何应用例示,定比分点公式？在线段P1P2（或其延长线）之上求一点P，使得有向长度之比给定为P1P:PP21:2.,此时120并且P1P1/(12)P1P2,PP22/(12)P1P2,P1P2OP2OP1.从而有OPOP1P1POP11/(12)P1P2,23,向量线性运算的几何应用例示,定比分点公式在线段P1P2（或其延长线）之上求一点P，使得有向长度之比给定为P1P:PP21:2.,此时120并且,可简记为,特例：当1:21时，回到中点公式；当1:21时，公式形变为,24,向量线性运算的几何应用例示,三角形重心公式任意ABC的三条中线相交于重心G，其中,可简记为,问1：ABC三条中线一定相交于一点？问2：公共交点重心G位置？,观察和确定重心位置：坐标法解方程，反验；直观极限法，收敛于重心，反验,25,向量线性运算的几何应用例示,三角形重心公式任意ABC的三条中线相交于重心G，其中,向量证法要点：要验证三条中线的2:1分点重合于一个公共点即为重心G注意到对称性，只要验证一条中线的2:1分点为式中所定点G即可,三角形重心公式的证明记ABC的中线AA的2:1分点GA，其中A是边BC的中点，要证OGA可由公式右端表达,26,向量线性运算的几何应用例示,三角形重心公式任意ABC的三条中线相交于重心G，其中,为此，由定比分点公式，可得OA(OBOC)/2，OGA(OA2OA)/3，代入整理即得,三角形重心公式的证明记ABC的中线AA的2:1分点GA，其中A是边BC的中点，要证OGA可由公式右端表达,27,向量线性运算的几何应用例示,三角形重心公式的证明记ABC的中线AA的2:1分点GA，其中A是边BC的中点，要证OGA可由公式右端表达为此，由定比分点公式，可得OA(OBOC)/2，OGA(OA2OA)/3，代入整理即得,同理，另外两条中线的2:1分点同样确定为公式右端，因此三者重合，记为G，并且,证毕注意：推证是探索过程的升华和总结！几何直观不可或缺！,28,习题一（p.1521）,按照以下分类参考，酌情训练（注意一定要有独立思考的过程）：复述、简单模仿：3，4，12，13，14；基本概念和基本运算：1，2，10，17；几何应用初步：5，6，11，15，16；几何应用：7，8，9。补充思考题：当OA和OB不平行时，下列点集所对应的几何实体是什么：POPOAOB,(,)R2？当OA、OB、OC不共面时，下列点集所对应的几何实体是什么：POPOAOBOC,(,)R3？,