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第3章刚体力学基础动量矩,刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体.（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组理想化模型）,刚体的运动形式：平动、转动.,平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线.,3.1刚体和刚体的基本运动,平动的特点:,刚体中各质点的运动情况相同,刚体的平动可归结为质点运动,转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.转动又分定轴转动和非定轴转动.,刚体的平面运动.,一描述刚体定轴转动的角量,角位移,角坐标,刚体绕固定轴转动定轴转动,角速度矢量,1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；2）任一质点运动均相同，但不同；3）运动描述仅需一个坐标.,定轴转动的特点,角加速度,方向:右手螺旋方向,二匀变速转动公式,当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动.,刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比,三角量与线量的关系,飞轮30s内转过的角度,例1一飞轮半径为0.2m、转速为150rmin-1，因受制动而均匀减速，经30s停止转动.试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后t=6s时飞轮的角速度；（3）t=6s时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度.,该点的切向加速度和法向加速度,转过的圈数,例2在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动.开始时，它的角速度，经300s后，其转速达到18000rmin-1.已知转子的角加速度与时间成正比.问在这段时间内，转子转过多少转？,解由题意，令，即，积分,得,当t=300s时,所以,转子的角速度,由角速度的定义,得,有,在300s内转子转过的转数,:力臂,刚体绕Oz轴旋转,力作用在刚体上点P,且在转动平面内,为由点O到力的作用点P的径矢.,对转轴Z的力矩,一力矩,3.2力矩刚体绕定轴转动微分方程,2）合力矩等于各分力矩的矢量和,其中对转轴的力矩为零，故对转轴的力矩,3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消,O,二刚体绕定轴转动微分方程（转动定律）,在刚体中任取一质量元,-外力,-内力,采用自然坐标系，切向分量式为：,力的法向分量的作用线通过转轴，其力矩为零，不予考虑。,用乘以上式左右两端：,设刚体由N个点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将N个方程左右相加，得：,合外力矩,合内力矩,外力矩,内力矩,刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.,转动定律,定义转动惯量,得到：,物理意义：转动惯性的量度.,转动惯性的计算方法,质量离散分布刚体的转动惯量,与牛顿第二定律比较：,确定转动惯量的三个要素:(1)总质量(2)质量分布(3)转轴的位置,J与质量分布有关,例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量,例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量,dl,O,m,R,O,m,r,dr,R,例如等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量,L,z,O,x,dx,M,J与刚体的总质量有关,O,L,x,dx,M,z,L,O,x,dx,M,z,J与转轴的位置有关,x,x,x,解设棒的线密度为，取一距离转轴OO为处的质量元,例1一质量为、长为的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.,如转轴过端点垂直于棒,例2一质量为、半径为的均匀圆盘，求通2过盘中心O并与盘面垂直的轴的转动惯量.,解设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为的圆环,而,圆环质量,所以,圆环对轴的转动惯量,质量为m半径为R的匀质球体绕过球心轴的转动惯量,例3内半径为R1外半径为R2质量为m的匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量,例4质量为m半径为R的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量,在球面取一圆环带，半径,例5质量为m半径为R的匀质球体绕过球心轴的转动惯量,把球体看作无数个同心薄球壳的组合,四平行轴定理,转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置.,质量为的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为的转轴的转动惯量,圆盘对P轴的转动惯量,竿子长些还是短些较安全？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,例一长为质量为匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动.试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度.,解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得,式中,得,由角加速度的定义,代入初始条件积分得,(1)飞轮的角加速度,(2)如以重量P=98N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速,解(1),(2),两者区别,例,求,一轻绳绕在半径r=20cm的飞轮边缘，在绳端施以F=98N的拉力，飞轮的转动惯量J=0.5kgm2，飞轮与转轴间的摩擦不计，(见图),一定滑轮的质量为m，半径为r，不能伸长的轻绳两边分别系m1和m2的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑动。（设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零）,例,求,滑轮转动角速度随时间变化的规律。,解,以m1，m2，m为研究对象,受力分析,滑轮m：,物体m1：,物体m2：,（3）若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为再求线加速度及绳的张力.,例质量为的物体A静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为的物体B上.滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计.问：（1）两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体B从静止落下距离时，其速率是多少？,解（1）隔离物体分别对物体A、B及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律、转动定律列方程.,如令，可得,（2）B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率,（3）考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩，转动定律,结合（1）中其它方程,例一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？,解由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg。,此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是,因m=eR2，代入得,阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度.,
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