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5.7正定二次型,一、惯性定理,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩,实际上，当我们限定所用的变换为实变换时，二次型的标准形还有如下一些性质,证明：,由上面定理知，存在正交矩阵P，使得,结论：,且,令,则K可逆,这个定理称为惯性定理，这里不予证明。,二次型的标准形中，正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数。,为正定二次型,为负定二次型,二、正(负)定二次型的概念,例如,证明,充分性,故,三、正(负)定二次型的判别,必要性用反证法。,故,推论对称矩阵为正定的充分必要条件是：的特征值全为正,这个定理称为霍尔维茨定理,定理3对称矩阵为正定的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即,对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即,正定矩阵具有以下一些简单性质,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,解,二次型的矩阵为,用特征值判别法.,故此二次型为正定二次型.,即知是正定矩阵，,解,2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：,(1)定义法；,(2)顺次主子式判别法；,(3)特征值判别法.,四、小结,1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系,3.根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大家自己推导,思考题,思考题解答,
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