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1.2.1函数的概念,初中函数的概念：,在某变化过程中，有两个变量x、y，如果给定一个x，相应地确定唯一的一个y值。那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。,从上面概念知道：可以用函数描述变量x，y之间的依赖关系。下面我们将进一步的学习函数及其构成要素。首先请看这几例子：,引例一一枚炮弹发射后，经过60s落到地面击中目标。炮弹的射高为4410m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间（单位：s）变化的规律是h=294t-4.9t2,思考以下问题:(1)炮弹飞行1秒、8秒、15秒、25秒时距地面多高？(2)炮弹何时距离地面最高?(3)你能指出变量t和h的取值范围吗?分别用集合A和集合B表示出来。(4)对于集合A中的任意一个时间t,按照对应关系,在B中是否都有唯一确定的高度h和它对应?,引例二近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从19792001年的变化情况,思考：,(1)能从图中看出哪一年臭氧层空洞的面积最大？,(2)哪些年的臭氧层空洞的面积大约为1500万平方千米？,(3)变量t的取值范围是多少？,引例三,请问：,(1)恩格尔系数与年份之间的关系是否和前两个事例中的两个变量之间的关系相似？,(2)如何用集合与对应的语言来描述这个关系？,“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况如下表：,以上三个实例有那些公共的特点？,思考,它们的关系可以描述为：,对于数集A中的每一个t，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的h和它对应，记作：,f：AB,所以得到函数的概念：,设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，使A的任何一个x，在B中都有唯一确定的f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数。记作:,x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值对应的y值叫做函数值。,函数值的集合叫做函数的值域。,例如:(1)一次函数y=ax+b（a0）,定义域为R,值域为R,(2)二次函数,例题分析,解（1）有意义的实数x的集合是x|x-3有意义的实数x的集合是x|x2所以这个函数的定义域就是,（2）,（3）因为a0,所以f（a），f（a-1）有意义,课堂练习：P21练习1/2,问题思考,设A=1,2,3，B=1,4,8,9，对应关系是f:平方。问对应f:AB是否为从A到B的一个函数？这个函数的定义域是什么？值域C又是什么？一般情况下,C与B之间有关什么关系？两个函数相等的条件是什么？,函数,定义域,值域,对应关系,值域是由定义域和对应关系决定的。,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，就知这两个函数相等。,今后如无特别声明，已知函数即指B为函数值域.于是函数有三要素，即：,通常用表示函数已有所反映。,例2下列函数哪个与函数y=x相等,解（1），这个函数与y=x（xR）对应一样，定义域不不同，所以和y=x（xR）不相等,（2）这个函数和y=x（xR）对应关系一样，定义域相同xR，所以和y=x（xR）相等,（3）这个函数和y=x（xR）定义域相同xR，但是当x0时，它的对应关系为y=-x所以和y=x（xR）不相等,（4）的定义域是x|x0，与函数y=x（xR）的对应关系一样，但是定义域不同，所以和y=x（xR）不相等,课堂练习：P21练习,区间的概念,满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为a，b,设a，b是两个实数，而且ab,我们规定：,满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b),满足不等式axb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为a，b）或（a，b,这里的实数a，b叫做相应区间的端点,实数集R可以表示为（-，+）,例3设f(x)的定义域是-1,3，值域为0,1,试求函数f(2x+1)的定义域及值域。,分析：函数f(2x+1)的自变是仍是x，不是2x+1，故应由2x+1满足的条件中求出x的取值范围，进而得所求定义域；而2x+1已取遍定义域内的每一个实数，所以值域没有改变。解：由已知-12x+13，得-1x1。得函数f(2x+1)的定义域是-1,1，值域仍为0,1。辩：将值域写成y0,1行吗？0y1呢？,例4(1)（孪生问题1）已知f(x)=x2-x+1，求f(2x+1)。(2)(孪生问题2）已知f(2x+1)的定义域是-1,3，且f(x)的定义域由f(2x+1)确定，试求f(x)的定义域。,解(1)：f(2x+1)=(2x+1)2-(2x+1)+1=4x2+2x+1。解(2)：由已知-1x3，得2x+1-1,7，又f(x)的定义域由f(2x+1)确定，故f(x)的定义域为-1,7。注:(1)f(x)意含对x的一种运算法则；(2)解题时经常将一个变量作为整体看；(3)2x+1-1,7与-12x+17是同义句。,课堂小结,一个概念，二种语言，三个要素。四项注意：1、已知函数均指由定义域到值域的函数；2、函数问题首先看定义域；3、f(x)含对x的一种操作规定；4、根据需要，常常要用整体看问题。,数学天才莱布尼兹,函数这个数学名词是莱布尼兹在1694年开始使用的，以描述曲线的一个相关量，如曲线的斜率或者曲线上的某一点。莱布尼兹所指的函数现在被称作可导函数，数学家之外的普通人一般接触到的函数即属此类。对于可导函数可以讨论它的极限和导数。此两者描述了函数输出值的变化同输入值变化的关系，是微积分学的基础。,
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