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专题八函数应用,初中阶段学习的函数只有三种:一次函数、二次函数和反比例函数(包括有这三种函数组合的分段函数).所谓函数应用,指的是建立这些函数模型解决实际问题.简单地说,解答函数应用问题,就是先分析出实际问题中蕴含的函数模型,从而确定这个函数,再利用函数的有关知识解决问题.其实应用函数解决实际问题在本书前部分已有涉及,这里再设专版复习,其目的是从建立三种函数模型的角度再做强化.这类问题是安徽中考的必考题,经常一年多考,如2015年第10题、第21题、第22题,2016年第9题、第22题,2017年第9题、第22题,2018年第10题、第22题等.值得一提的是一次函数和反比例函数的应用变化较少,而二次函数应用的变化相对灵活,近十年来,考查二次函数的题型多达6个种类,都应研究到位.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,类型7,类型8,行程问题与一次函数典例1(2016安徽第9题)一段笔直的公路AC长20千米,途中有一处休息点B,AB长15千米.甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发.甲以15千米/时的速度匀速跑至点B,原地休息半小时后,再以10千米/时的速度匀速跑至终点C;乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C.下列选项中,能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y(千米)与时间x(时)函数关系的图象是(),类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,类型7,类型8,【答案】A【名师点拨】本题的解析是在定性分析,还可以定量分析,即通过用待定系数法求出各段线段的函数表达式来解题.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,类型7,类型8,一次方程(不等式)与一次函数典例2甲、乙两家商场进行促销活动.甲商场采用“满200减100”的促销方式,即购买商品的总金额满200元但不足400元,少付100元;满400元但不足600元,少付200元;.乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销.(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品,付款时应付多少钱?(2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400x600)元,优惠后得到商家的优惠率为,写出p与x之间的函数关系式,并说明p随x的变化情况;(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品,在甲、乙两商场的标价都是x(200x400)元,你认为选择哪家商场购买该商品花钱较少?请说明理由.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,类型7,类型8,【解析】(1)顾客在甲商场消费510元,因为400510100,即250x32.5.所以,当30a32.5时,应选择做净菜处理后再销售,所获得的年利润较多;当a=32.5时,直接销售和做净菜处理后再销售所获得的年利润一样;当32.5a40时,应选择直接销售.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,类型7,类型8,几何图形与反比例函数典例3如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从A点出发,按ABC的方向在AB和BC上移动,记PA=x,点D到直线PA的距离为y,则y关于x的函数图象大致是(),类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,类型7,类型8,【答案】B,【名师点拨】(1)本题的关键在于当点P在BC边上移动时,PAD的面积始终等于矩形ABCD面积的一半,从而得到反比例函数(3x5)的图象.其实通过矩形中两个直角三角形相似,得到比例线段,从而也能得到反比例函数(30,a+b+c=ba+c=0ac0.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,类型7,类型8,最大利润与二次函数典例5(2017安徽第22题)某超市销售一种商品,成本为每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元.经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:,(1)求y与x之间的函数表达式;(2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润=收入-成本);(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出每千克售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,类型7,类型8,【解析】(1)先根据题意设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,然后从表格中任取两组数据代入,求出k与b的值,即可求得y与x之间的函数表达式;(2)根据总利润=每件利润件数,即可写出W与x之间的函数表达式;(3)根据(2)中的函数解析式,将其化为顶点式,结合40x80,即可求解.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,类型7,类型8,【答案】(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,即y与x之间的函数表达式是y=-2x+200.(2)由题意可得,W=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280 x-8000,即W与x之间的函数表达式是W=-2x2+280 x-8000.(3)W=-2x2+280 x-8000=-2(x-70)2+1800,40x80,当40x70时,W随x的增大而增大,当70x80时,W随x的增大而减小,当x=70时,W取得最大值,此时W=1800,答:当40x70时,W随x的增大而增大,当70x80时,W随x的增大而减小.每千克售价为70元时获得最大利润,最大利润是1800元.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,类型7,类型8,【名师点拨】最大利润与二次函数这类问题变式较多,近10年安徽省中考数学考查的也较多,它的规律就在于从实际意义考虑,就是总利润=销售量单位销售利润;从算式考虑,就是总利润=两个代数式的乘积(得到二次项).对应这两个关系可得二次函数模型,从而用二次函数知识解答.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,类型7,类型8,命题拓展考向一次函数中的最值问题其实应用一次函数的增减性也能求出实际问题中的最大值或最小值问题,注意两者的区别.例如:3.某蓝莓种植生产基地产销两旺,采摘的蓝莓部分加工销售,部分直接销售,且当天都能销售完,直接销售是40元/斤,加工销售是130元/斤(不计损耗).已知基地雇佣20名工人,每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作,每人每天可以采摘70斤或加工35斤,设安排x名工人采摘蓝莓,剩下的工人加工蓝莓.(1)若基地一天的总销售收入为y元,求y与x的函数关系式;(2)试求如何分配工人,才能使一天的销售收入最大?并求出最大值.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,类型7,类型8,【答案】(1)根据题意得y=4070 x-35(20-x)+13035(20-x)=-350 x+63000.(2)因为采摘量不小于加工量,所以70 x35(20-x),解得x,又因为x为正整数,且x20,所以7x20,且x为正整数.因为-3500,所以y随x的增大而减小,所以当x=7时,收入取最大值,最大值为-3507+63000=60550.即安排7名工人进行采摘,13名工人进行加工,才能使一天的收入最大,最大收入为60550元.,类型1,类型2,类型3,类型4,类型5,类型6,类型7,类型8,图形面积与二次函数典例6(2016安徽第22题)如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).(1)求a,b的值;(2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(20),解得a=5,b=-10,y2=5x2-10 x+5.当0x3时,根据函数y2的图象可知,y2的最大值为532-103+5=20.【名师点拨】(1)本题最为主要的是对新定义(如本题的“同簇二次函数”)的理解,同时注意分类讨论,其他方面都是常规考查二次函数的顶点、解析式及增减性等问题.(2)这类试题变化较少,也已经有4年没有在安徽中考中出现了,我们只要适当关注.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1.周末爸爸步行到公司加班,途中发现重要文件忘带,立即往家打电话,儿子接到电话后带上文件马上去追爸爸,爸爸也同时返回迎儿子,两人相遇后,爸爸立即赶往公司,花了18分钟,儿子立即回家花了15分钟.假设家和公司之间的路线是唯一的,且爸爸的步行速度一直是100米/分钟.爸爸和儿子之间的距离y(米)与爸爸打完电话后的步行时间x(分钟)之间的函数关系如图所示,观察图象,下列结论不正确的是()A.打电话时,爸爸和儿子相距1250米B.打电话后经过23分钟爸爸到达公司C.相遇后儿子回家的速度是150米/分钟D.家和公司之间的路程是2550米【解析】根据函数图象,知A,B说法正确;相遇时儿子离家为1250-5100=750米,75015=50米/分钟,C不正确;儿子到家时两人相距2250米,爸爸又步行了23-20=3分钟,3100=300米,所以家和公司之间的路程是2550米,D正确.,C,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2018山东聊城)春季是传染病多发的季节,积极预防传染病是学校高度重视的一项工作,为此,某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒.在对某宿舍进行消毒的过程中,先经过5min的集中药物喷洒,再封闭宿舍10min,然后打开门窗进行通风,室内每立方米空气中含药量y(mg/m3)与药物在空气中的持续时间x(min)之间的函数关系,在打开门窗通风前分别满足两个一次函数,在通风后又成反比例,如图所示.下面四个选项中错误的是()A.经过5min集中喷洒药物,室内空气中的含药量最高达到10mg/m3B.室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11minC.当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于35分钟,才能有效杀灭某种传染病毒.此次消毒完全有效D.当室内空气中的含药量低于2mg/m3时,对人体才是安全的,所以从室内空气中的含药量达到2mg/m3开始,需经过59min后,学生才能进入室内,C,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2018湖南永州)在同一平面直角坐标系中,反比例函数(b0)与二次函数y=ax2+bx(a0)的图象大致是(),D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.(2018湖南娄底)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点P是反比例函数图象上的一点,PAx轴于点A,则POA的面积为.,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.某商场购进一批单价为20元的日用商品,如果以单价30元销售,那么半月内可销售出400件,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件,当销售单价是元时,才能在半月内获得最大利润.【解析】半月内获得利润w=400-20(x-30)(x-20)=-20 x2+1400 x-20000,即w=-20(x-35)2+4500.故当x=35时,w最大.,35,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.某商户在网上投资销售A,B两种商品,已知:销售A种商品可获得的利润y1(万元)是该商品投资额的40%,销售B种商品可获得的利润y2(万元)与该商品投资额x(万元)满足一次函数关系,部分数据如下表:,(1)分别求销售A,B两种商品获利y1(万元),y2(万元)与该商品的投资额x(万元)的函数关系式;(2)若只选择一种商品投资销售,销售哪种商品获利更高?,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解:(1)根据题意,得y1=0.4x.因为y2与x满足一次函数关系,所以设y2=kx+b.把x=1,y=0.5;x=2,y=0.7分别代入y2=kx+b中,得k=0.2,b=0.3,所以y2=0.2x+0.3.(2)令y1y2,得x1.5;令y1=y2,得x=1.5;令y1y2,得x1.5.故当投资额小于1.5万元时,销售B种商品获利大;当投资额等于1.5万元时,销售两种商品获利一样大;当投资额大于1.5万元时,销售A种商品获利大.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.某旅行社推出一条旅游线路,根据往年的经验,这条旅游线路的游客人数y(人/月)与报价x(元/人)之间的关系如图所示.已知这条旅游线路的成本价为500元/人,旅游主管部门规定该旅游线路的报价不低于800元/人,且不高于1500元/人.(1)要将这条旅游线路每月的游客人数控制在200人以内,求该旅游线路报价的取值范围.(2)当这条旅游线路的报价为多少时,每月可获得最大利润?最大利润是多少?,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解:(1)由题意可得,y与x之间的函数关系式为,当-x+13001100,故要将这条旅游线路每月的游客人数控制在200人以内,该旅游线路报价的取值范围为1100100000,所以当这条旅游线路的旅游报价为900元/人时,每月可获得最大利润,最大利润是160000元.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.如图,现有一块钢板余料ABCED,它是矩形缺了一角,A=B=D=90,AB=6dm,AD=10dm,BC=4dm,ED=2dm.王师傅准备从这块余料中裁出一个矩形AFPQ(P为线段CE上一动点).设AF=x,矩形AFPQ的面积为y.(1)求y与x之间的函数关系式,并注明x的取值范围;(2)x为何值时,y取最大值?最大值是多少?,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.某大型农贸市场现有100个摊位,平均每个摊位每月可收税款600元.现在为了解决外来务工人员就业问题,须在这个农贸市场中增加摊位,且每增加一个摊位,平均每个摊位每月少收税款5元.设在该农贸市场中增加x个摊位,请解决下列问题:(1)写出增加摊位后,平均每个摊位每月所收税款y(元)与x(个)之间的函数关系式;(2)该农贸市场增加多少个摊位时,每月可收总税款最多?最多为多少?解:(1)由题意,得y=600-5x.(2)w=(100+x)(600-5x)=-5x2+100 x+60000=-5(x-10)2+60500,故该农贸市场增加10个摊位时,每月可收总税款最多,最多为60500元.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.(1)求抛物线y=ax2+bx+c和直线AB的函数表达式;(2)点P是该抛物线(在第一象限内)上一动点,写出PAB的面积S关于点P的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解:(1)抛物线的顶点坐标为(1,4),可设抛物线的函数表达式为y=a(x-1)2+4,抛物线交x轴于点(3,0),0=a(3-1)2+4,解得a=-1,y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.令x=0,得y=3,即B(0,3).设直线AB的函数表达式为y=mx+n,根据A(3,0),B(0,3),可得m=-1,n=3,直线AB的函数表达式为y=-x+3.(2)设P点坐标为(x,y),连接OP,则S=SOAP+SOBP-SAOB,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.若两个二次函数y1=a1x2+b1x+c1,y2=a2x2+b2x+c2中的a1=a2,c1=c2,b1b2,则称y1和y2是“同位二次函数”.(1)若y是二次函数y=x2+2x-3的一个“同位二次函数”,y的最小值为-5,求y的函数表达式;(2)若y也是y=x2+2x-3的一个“同位二次函数”,y,y的图象的顶点分别为A,B,当ABx轴,且AB=2时,求y的函数表达式.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.(2018四川眉山)传统的端午节即将来临,某企业接到一批粽子生产任务,约定这批粽子的出厂价为每只4元,按要求在20天内完成.为了按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只,y与x满足如下关系:,(1)李明第几天生产的粽子数量为280只?(2)如图,设第x天生产的每只粽子的成本是p元,p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若李明第x天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大?最大利润是多少元?(利润=出厂价-成本),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解:(1)当0x6时,令y=280,得,不合题意,舍去;当bx20时,令y=280,得x=10.故李明第10天生产的粽子数量为280只.(2)当0x6时,w=34x(4-2)=68x;当6x10时,w=(20 x+80)(4-2)=40 x+160;当10x20时,设p与x的函数关系式为p=kx+b,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,当0x6时,w的最大值为686=408元;当6x10时,w的最大值为4010+160=560元;当10x20时,w=-2(x-13)2+578,W的最大值为578元.综上,第13天的利润最大,最大利润是578元.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,13.(2018浙江衢州)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式.(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,
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