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专题一合情推理,初中阶段考查合情推理的试题通常由数字规律类、图形规律类及数形结合类等形式呈现,无论是哪一类,本质都是在考查观察、分析、猜想、归纳、验证等诸方面能力.多年来,各地中考都非常重视这个知识的考查,安徽数学中考更是如此,几乎每年都有这类试题.如2015年第13题,2016年第18题,2017年第19题,2018年第18题(注:本书的9个专项提升只追述到近4年安徽中考,不再往前赘述).分析近几年这类试题的变化规律可以发现数形结合类的试题难度较大.,类型1,类型2,类型3,数字规律类合情推理典例1(2018安徽第18题)观察以下等式:,按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第6个等式:;(2)写出你猜想的第n个等式:(用含n的等式表示),并证明.,类型1,类型2,类型3,类型1,类型2,类型3,【名师点拨】(1)继续实验:原题中只写了5个等式,如果分析后仍找不出规律,可以按照已知的5个等式的规律再写出第6个、第7个等式,从而积累数学活动经验,有利于总结归纳发现规律;(2)检验猜想:如本题归纳出猜想的等式“”后,应该代入数字检验它的正确性,即检验当“n=1,n=2,n=3”时所得等式与已知等式是否相同;(3)证明要求:在注意这类问题证明格式的特殊要求的同时,还应注意化简的原则是“化繁为简”,即左边复杂则化简左边,右边复杂则化简右边,两边都复杂则两边都化简.(4)改变数据:对于数字变化类合情推理试题,大多是命题者先确定一个代数式(或等式),再令“n=1,n=2,n=3,”,从而命制出试题.比如试题命制者先确定代数式n2-1,就可以写出数据0,3,8,15,24,这时第n个数据当然是n2-1.知道了这一点,如果找不到规律,就可以适当改变原数据(最后还原),我们把这个经验称之为改变数据.,类型1,类型2,类型3,图形规律类合情推理典例2我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图(1)所示基本图的特征点,显然这样的基本图共有7个特征点,将此基本图不断复制并平移,使得相邻两个基本图的一边重合,这样得到图(2),图(3).,类型1,类型2,类型3,(1)观察以上图形并完成下表:,猜想:在图(n)中,特征点的个数为(用n表示);,类型1,类型2,类型3,(2)如图,将图(n)放在直角坐标系中,设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1,2),则x1=;图(2013)的对称中心的横坐标为.,【解析】(1)用代数式表达特征点的个数,观察可知,用(5n+2)表示;(2)找出规律可知,图(2013)的对称中心是O1007,求出其横坐标即可.,类型1,类型2,类型3,【答案】(1)由题意可知,图(1)中特征点有7个;图(2)中特征点有12个,12=7+51;图(3)中特征点有17个,17=7+52;则图(4)中特征点有7+53=22个;由以上猜想图(n)中特征点有7+5(n-1)=(5n+2)个.(2)过点O1作O1My轴于点M,类型1,类型2,类型3,【名师点拨】继续坚持典例1【名师点拨】中的四个经验,这里再强调一点:表格中的数据“7,12,17,22,”是结果数据,不利于我们发现规律,我们应该根据图形变化规律记录过程数据,如记为“7,7+5,7+5+5,7+5+5+5,”,这样就容易发现图(n)的特征点的个数为7+5(n-1)=5n+2,我们称之为记录过程数据.,类型1,类型2,类型3,命题拓展考向探究平面直角坐标系中的图形变化规律在平面直角坐标系中,一蚂蚁从原点O出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动,每次移动1个单位.其行走路线如下图所示.,(1)填写下列各点的坐标:A1(,),A3(,),A12(,);(2)写出点A4n的坐标(n是正整数);(3)指出蚂蚁从点A100到A101的移动方向.,类型1,类型2,类型3,【答案】(1)A1(0,1),A3(1,0),A12(6,0).(2)由题图知,蚂蚁的运动是以4为周期,每行走路程为4个单位时,其沿x轴方向前进2个单位,故A4(2,0),A8(4,0),A12(6,0),A4n(2n,0).(3)由(2)及100=425知,蚂蚁从点A100到A101的移动方向是向上.,类型1,类型2,类型3,数形结合类合情推理,类型1,类型2,类型3,类型1,类型2,类型3,再根据这个规律,完成下列问题:按此规律,第n个图形的面积为()2-2;(用含n的式子填空)比较两个猜想,写出你发现的结论并验证.,类型1,类型2,类型3,类型1,类型2,类型3,【名师点拨】了解几个常见的规律问题,并掌握其合并方法.如:1+2+3+n=;1+21+22+23+2n=2n+1-1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1.(2018湖南张家界)观察下列算式:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,则2+22+23+24+25+22018的末位数字是()A.8B.6C.4D.0【解析】21的末位数字为2,21+22的末位数字为6,21+22+23的末位数字为4,21+22+23+24的末位数字为0,21+22+23+24+25的末位数字为2,从而发现周期为4,20184的余数是2,因此2+22+23+24+25+22018的末位数字与21+22的末位数字相同,为6.,B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,2.用棋子摆出下列一组图形:按照这种规律摆下去,第n个图形用的棋子个数为()A.3nB.6nC.3n+6D.3n+3【解析】借助图形特点,可以发现:第一个图形用的棋子个数为31+3;第二个图形用的棋子个数为32+3;第三个图形用的棋子个数为33+3,第n个图形用的棋子个数为3n+3.,D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,3.将一些相同的“”按如图所示摆放,观察每个图形中的“”的个数,若第n个图形中“”的个数是78,则n的值是()A.11B.12C.13D.14,B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,4.观察下面“品”字形中各数之间的规律,根据观察到的规律得出a的值为()A.23B.75C.77D.139【解析】由图可知:上边的数与左边的数的和正好等于右边的数,上边的数为连续的奇数,左边的数为21,22,23,26,由此可得a,b.上边的数为连续的奇数1,3,5,7,9,11,左边的数为21,22,23,b=26=64,上边的数与左边的数的和正好等于右边的数,a=11+64=75.,B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,5.(2018山东德州)我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中,用下图的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系数,此三角形称为“杨辉三角”.(a+b)01(a+b)111(a+b)2121(a+b)31331(a+b)414641(a+b)515101051根据“杨辉三角”,请计算(a+b)8的展开式中从左起第四项的系数为()A.84B.56C.35D.28,B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,【解析】找规律发现(a+b)4的第四项系数为4=3+1;(a+b)5的第四项系数为10=6+4;(a+b)6的第四项系数为20=10+10;(a+b)7的第四项系数为35=15+20,(a+b)8的第四项系数为21+35=56.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,6.(2018四川绵阳)将全体正奇数排成一个三角形数阵:1357911131517192123252729根据以上排列规律,数阵中第25行的第20个数是()A.639B.637C.635D.633【解析】依题可得第25行的第一个数为1+2+4+6+8+224=1+2=601,第25行的第20个数为601+219=639.,A,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,8.观察下列的“蜂窝图”:则第n个图案中“”的个数是.(用含有n的代数式表示)【解析】根据规律,第1个图案中有4个,以后依次增加3个,故第n个图案中“”的个数是3n+1.,3n+1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,9.一个小球从距地面1m高处自由落下,每次着地后又跳回到原高度的一半再落下.(1)小球第3次着地时,经过的总路程为m;(2)小球第n次着地时,经过的总路程为m.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,10.如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=x-1与x轴交于点A1,如图所示依次作正方形A1B1C1O,正方形A2B2C2C1,正方形AnBnCnCn-1,使得点A1,A2,A3,An在直线l上,点C1,C2,C3,Cn在y轴正半轴上,请解决下列问题:(1)点A6的坐标是,点B6的坐标是;(2)点An的坐标是,正方形AnBnCnCn-1的面积是.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解:(1)由题意,A1(1,0),A2(2,1),A3(4,3),A4(8,7),A5(16,15),A6(32,31),An(2n-1,2n-1-1)(n为正整数).观察图形可知,点Bn是线段CnAn+1的中点,点Bn的坐标是(2n-1,2n-1),B6的坐标是(32,63).(2)由(1)得An(2n-1,2n-1-1)(n为正整数),正方形AnBnCnCn-1的面积是(2n-1)2=22n-2(n为正整数).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,11.观察下列式子:20+1=12;42+1=32;86+1=72;1614+1=152;(1)请按规律写出第个式子:;(2)根据你发现的规律写出第n个式子,并验证其正确性.解:(1)3230+1=312.(2)第n个等式为2n(2n-2)+1=(2n-1)2.左边=2n2n-2n2+1=22n-2n+1+1,右边=(2n)2-22n1+1=22n-2n+1+1,左边=右边,等式成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,12.毕达哥拉斯学派对“数”与“形”的巧妙结合作了如下研究:,请写出第六层各个图形的几何点数,并归纳出第n层各个图形的几何点数.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解:三角形数前三层的几何点数分别是1,2,3,第六层的几何点数是6,第n层的几何点数是n.正方形数前三层的几何点数分别是1=21-1,3=22-1,5=23-1,第六层的几何点数是26-1=11,第n层的几何点数是2n-1.五边形数前三层的几何点数分别是1=31-2,4=32-2,7=33-2,第六层的几何点数是36-2=16,第n层的几何点数是3n-2.六边形数前三层的几何点数分别是1=41-3,5=42-3,9=43-3,第六层的几何点数是46-3=21,第n层的几何点数是4n-3.,
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