《优化模型的三要素》PPT课件.ppt

优化模型的三要素,优化模型,于是，优化模型从数学上可以表述为,这里opt最优化的意思，可以是min（求极大，即minamize的缩写）或max（求极小，即minamize的缩写）的两者之一；s.t.（即subjectto）“受约束于”之意。,（1）,（2）,（3）,优化模型基本类型,1.决策变量x的所有分量xi均为连续数值a）f,hi,gi都是线性函数，则为线性规划（LP）b）f,hi,gi至少有一个是非线性，则为非线性规划（NLP）c）f是二次函数,hi,gi都是线性，则为二次规划（QP）2.决策变量x的的一个或多个分量xi取离散值a）x的至少一个分量只取整数数值，则为整数规划（IP）b）x的分量限定只取整数0或1，则为0-1规划（ZOP）3.此外，为了解决实际问题的需要，还可以分为：单目标规划，多目标规划，动态规划，多层规划等。,（1）线性规划（LP）的一般形式目标函数和所有的约束条件都是变量的线性函数。,常用的优化模型形式,（2）二次规划问题目标函数为二次函数，约束条件为线性约束。,常用的优化模型形式,例-1某服务部门一周中每天需要不同数目的雇员：周一到周四每天至少需要50人，周五需要80人，周六和周日需要90人。现规定应聘者需连续工作5天，试确定聘用方案，即周一到周日每天聘用多少人，是5在满足需要的前况下聘用总人数最少？,优化模型,决策变量：记周一到周日每天聘用的人数分别为X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7，这就是问题的决策变量。,目标函数：目标函数即是聘用总人数，即,约束条件：由每天需要的人数确定。由于每人连续工作五天，所以一周的雇员应该是周四到周一聘用的，按照需要至少50人，于是,线性规划模型,类似的，有,显然，人数应该是正整数，所以,问题归结为在以上约束条件下求解minz的整数规划模型。由于目标函数和约束条件关于决策变量都是线性函数，所以这是一个整数向行规划模型。,线性规划模型,例-2某班准备从5名游泳队员中选择4人组成接力队，参加学校的4*100混合泳接力比赛。5名队员4中泳姿的百米平均成绩如下表所示，问应该如何选拔队员组成接力队？,线性规划模型,问题分析：问题要求从5名队员中选出4人组成接力队，每人一种泳姿，且四人的泳姿各不相同，使接力队成绩最好。容易想到穷举法，组成接力队的方案有5！=120中，逐一计算并做比较即可找出最优方案。显然这不是解决问题的最好方法，随着问题规模的变大，穷举法的计算量是无法接受的。,可以用0-1变量表示一个队员是否入选接力队，从而建立这个问题的0-1规划模型.,线性规划模型,记甲、乙、丙、丁、戊分别为队员i=1，2，3，4，5；记蝶泳、仰泳、蛙泳、自由泳分别为泳姿j=1，2，3，4；记队员i的第j种泳姿的百米成绩为cij（s），则表一可以表示成为：,线性规划模型,目标函数：当队员队员i入选泳姿j的比赛时，cijxij表示他的成绩，否则cijxij=0。于是接力队的成绩可以表示为：,决策变量：引入0-1变量xij若选择队员i参加泳姿j的比赛，记xij=1，否则记xij=0.这就是问题的决策变量，共20个。,每人最多只能入选4种泳姿之一，即对于员i=1，2，3，4，应该有：,约束条件：根据组成接力队的要求，xij应该满足下面两个约束条件：,每种泳姿有且只能有1人入选，即对于员j=1，2，3，4，5，应该有：,线性规划模型,综上所述，这个问题的优化模型可以写作：,这是一个线性0-1规划模型，它是一个特殊的线性整数规划。,Lingo/Lindo软件介绍,这套软件包由美国芝加哥大学的LinusScharge教授于1980年前后开发，专门用于求解最优化问题，后经不断完善和扩充，并成立LINDO公司进行商业化运作，取得了巨大的成功。全球财富杂志500强的企业中，一半以上使用该公司产品，其中前25强企业中有23家使用该产品。该软件包功能强大，版本也很多，而我们使用的只是演示版（试用版），演示版与正式版功能基本上是类似的，只是能够求解问题的规模受到限制，总变量数不超过30个，这在我们目前的使用过程中，基本上是足够。,Lingo/Lindo软件介绍,Lingo/Lindo软件求解的优化模型类型见下图：,优化模型,连续模型,整数模型,线性规划,二次规划,非线性规划,Lindo,Lingo,Lingo/Lindo软件介绍,Lindo是英文LinearInteractiveandDiscreteOptimizer字首的缩写，即“交互式的线性和离散优化求解器”，可以用来求解线性规划（LP）和二次规划（QP）；Lingo是英文LinearInteractiveandGeneralOptimizer字首的缩写，即“交互式的线性和通用优化求解器”，它除了具有Lindo的全部功能外，还可以用来求解非线性规划。Lingo和Lindo的最大特色在于可以允许决策变量是整数，而且执行速度很快；Lingo实际上还是一种建模语言，即使对优化方面的专业知识了解不多的用户，也能方便的进行输入、求解，并能快速的得到复杂优化问题的高质量的解。,解决一个简单的线性规划（LP）问题,Lingo/Lindo软件介绍-Lindo,其Lindo程序为：,例-3,Lingo/Lindo软件介绍-Lindo,Lindo程序以“MAX”（或“MIN”）表示目标是求最大化（最小化）问题，后面直接写目标函数的表达式和约束的表达式条件，目标函数和约束之间以“ST”分开；程序以“END”（也可以省略）结束；输入格式与数学模型表达式几乎完全一样，连系数之间的乘号都一样省略了，而且必须省略；在Lindo模型中的书写是相当灵活的；并且Lindo中已假定所有变量非负，也不区分大小写；约束条件中的“=”及“”“”代替；输入的多于空格和回车也会被忽略；一行中“！”后面的文字将被认为是说明语句，不参与模型的建立，主要目的是增加程序的可读性。,我们从这段程序可以看出Lindo模型有以下特点：,现在我们用Lindo软件来求解这个模型，单击工具栏中的图标，便得到以下运行状态窗口：,添加Lindo求解器,显示结果如下,单纯行法迭代两次得到最优解,最优目标值,最优解各变量的值,对偶价格,影子价格：表示该非基变量增加一个单位而其他变量不变时目标函数减少的量（对max型问题）,松弛变量的值【紧约束】,单纯行法进行两次迭代,Lingo/Lindo软件介绍-Lindo,变量以字母开头、不区分大小写，变量名可不超过8个字符；变量不能出现在约束条件的右端，右端只能是常数；变量与系数之间可以有空格，但绝对不能有任何运算符；Lindo中不接受”（）“和逗号”，“等任何运算符号（除非在注释语句中）；模型中的表达式应当经过化，如不能出现（X+1）2+2X2+3Y，而应该写成3X2+2X+3Y+1；模型中已假定所有变量非负，可在模型的”end“语句后面用命令”free“取消变量的非负假定，其用法是在”free“后面跟变量名；在模型的”end“语句后面可以用命令”SUB“设定变量的上界，用命令”SLB“设定变量的下界；Lindo中以“！”开始的是说明语句，说明语句也以“;”结束。,使用Lindo软件的一些注意事项：,Lingo/Lindo软件介绍-Lindo,下面我们用一个例子来说明Lindo中三个变量范围限制命令（FREE、SBU、SLB）的作用和使用方法：,例-4,在这个模型中，对变量x没有非负限制，对y有上限限制，对z有下限限制；分别用FREE、SBU、SLB三个命令可以实现这些功能。具体输入如下：,图a：例4的输入模型,图b：例4的输出结果,Lingo/Lindo软件介绍-Lingo,Lingo9.0软件比以前的版本有了很大的改进，功能大大增强，性能更加稳定，结果更加可靠；从基本更能上看，与Lindo相比，Lingo软件主要具备以下优点：,除具备Lindo饿全部功能外，还可以用于求解非线性规划问题；Lingo包含了内置的建模语言，允许以简练、直观的方式描述较大规模的优化问题，模型中所需的数据可以以一定的格式保存在独立的文件中。,事实上，Lindo公司目前已经将Lindo软件从其产品目录中删除，而将Lindo软件的所有功能都在Lingo中得到了支持，所以在不久的将来总有一天人们会废弃Lindo软件不再使用，但Lingo的生命力应该还是很顽强的！,Lingo/Lindo软件介绍-Lingo,对前面的线性规划模型，编写Lingo程序如下：,点击图标运行，屏幕上显示运行状态窗口如下：,对于Lingo运行状态窗口，我们给于以下解释：,变量数目：变量总数（Total）、非线型变量数（Nonlinear）、整数变量数（Integer）,约束变量：约束总数（Total）、非线性约束个数（Nonlinear）,非线性系数数量：总数（Total）、非线性项的系数个数（Nonlinear）,内存使用量：单位为千字节,求解花费时间：显示格式“时:分:秒:”,Lingo/Lindo软件介绍-Lingo,关闭求解状态窗口，得到结果如下：,Lingo/Lindo软件介绍-Lingo,Lingo中变量不区分大小写，变量名可以超过8个，不能超过32个，需以字母开头；用Lingo解优化模型时已假定所有变量非负（除非用限定变量范围的函数free或bnd另行说明）；变量可以放在约束条件右端，同时数字也可以放在约束条件左边；Lingo模型语句由一系列语句组成，每一个语句都必须以“;”结尾；Lingo中以“！”开始的是说明语句，说明语句也以“;”结束。,关于Lingo的基本用法的几点注意事项：,Lingo/Lindo软件介绍-Lingo,ABS（X）：绝对值函数，返回X的绝对值；EXP（X）：指数函数（以自然对数e为底），返回eX的值；LOG（X）：自然对数函数，返回X的自然对数值；POW（X，Y）：指数函数，返回XY的值；SQR（X）：平方函数，返回X的值；SQRT（X）：平方根函数，返回X的平方根；FLOOR（X）：取整函数，返回X的整数部分（向靠近0的方向取）；SMAX（X）：取最大值，返回一列数（LIST）的最大值；SMIN（X）：取最大小值，返回一列数（LIST）的最小值；三角函数：COS（X），SIN（X），TAN（X）；,在Lingo中建立的优化模型可以引用大量的内部函数这些函数都以符号打头，其用法比较简单，我们一一列出：,基本数学函数,Lingo/Lindo软件介绍-Lingo,变量定界函数对变量的取值范围附加限制，共有以下四种：,变量定界函数,BND（L，X，U）：限制L=X=U.注意，Lingo中没有与Lindo命令SLB、SUB类似的函数SLB、SUB.BIN（X）：限制X为0或1。注意Lindo中的命令是INT，但Lingo中这个函数却不是INT.FREE(X)：取消对X的符号限制（即可取负数，0或正数）.GIN（X）：限制X为整数.,添加Lindo截图添加Lingo截图,Lindo模型与Lingo模型的区别与联系,Lindo中目标函数“Max”开头，在Lingo中则以“Max=”开头.“ST”在Lingo模型中中不再需要.Lindo中系数和变量之间不能含有运算符；而Lingo中每个系数和变量之间均增加了运算符“*”，并且绝对不可以省略；.Lingo中每行后面均增加了一个分号“;”(英文状态下输入).Lingo中模型以“MODEL:”开始，以“END”结束，对于简单的模型，这两个语句都可以省略.,