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11数列的概念12数列的函数特性,一、数列的概念按照_排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做_)，排在第二位的数称为这个数列的第2项排在第n位的数称为这个数列的第n项所以，数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为an，其中，an是这个数列的第_项，也叫做这个数列的_.,友情提示：关于数列概念的理解应注意的几点事项：(1)数列是按一定“次序”排成的一列数，一个数列不仅与组成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关因此，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(2)数列与数集的区别与联系：数列与数集都是具有某种共同属性的数的全体数列中的数是有序的，而数集中的元素是无序的，同一个数在数列中可以重复出现，而数集中的元素是互异的；,(3)数列的项与它的项数是不同的概念：数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n；(4)次序对于数列来讲是十分重要的，若两个数列中有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别,二、数列的分类1根据数列的项数，可以将数列分为两类：(1)有穷数列：项数_的数列；(2)无穷数列：项数_的数列,2根据数列的增减性，可以将数列分为以下几类：(1)递增数列：从第2项起，每一项都大于它前面的一项的数列叫做_；(2)递减数列：从第2项起，每一项都小于它前面的一项的数列叫做_；(3)常数数列：数列的各项都是常数的数列叫做_；(4)摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做_.,三、数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作_的函数anf(n)，当自变量从小到大依次取值时，该函数所对应的一列_就是这个数列四、数列的通项公式如果数列an的第n项an与n之间的关系可以用_来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式由通项公式可以写出数列的任一项,友情提示：对于通项公式的理解应注意以下几点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集1,2，n为定义域的函数的表达式；(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3，去替代公式中的n，就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是该数列中的一项，如果是的话，是第几项；(3)正如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有数列都有通项公式；,(4)有些数列的通项公式，在形式上并不一定是唯一的例如：数列1,1，1,1，的通项公式可写成an(1)n，也可写成这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列；(5)由(4)知，数列的通项公式可以用分段形式写出，这与函数有分段函数的道理是一样的,五、递推公式如果已知数列an的第1项(或前n1项)，且从第2项(或第n项)开始的任何一项an与它的前一项an1(或前n1项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的_.例如数列1,3,7,15，中，an2an11(n1)称为递推公式，这里特别提醒的是：递推公式虽然也是数列的一种表示方法，但递推公式并不是该数列的通项公式事实上，该数列的通项公式可写成an2n1(nN*),六、数列的表示方法数列作为一种特殊函数，与函数一样，有三种表示方法：解析法、列表法、图像法解析法主要是指数列的_与_，这是给出数列的两种重要方法例如数列1,3,5,7,9，：,(1)数列的通项公式如果数列an的_的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，由通项公式可以写出数列的任一项仔细观察数列各项，不难发现：1211；3221；5231；7241；9251；故an2n1(nN*)，此时an就是数列的通项公式,数列的项通常用字母加右下角标表示，其中右下角标表示项的位置序号我们还应注意到这里an与an是不同的：an表示数列a1，a2，a3，an，；而an只表示这个数列的第n项这里an是数列的简记符号，并不表示一个集合,(2)数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫这个数列的_.仔细观察数列前后项关系，不难发现312；532；752；972；故an1an2(nN*)，这个公式就叫做数列的递推公式,(3)数列的列表、图像表示列表法就是_来表示数列an的第n项与序号n之间的关系如本题数列可用下面表格形式表示出来：这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射因此，从映射、函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集1,2,3，n)的函数当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值,图像法就是用图像来表示数列an的第n项与序号n之间的关系数列的图像是_，能直观地表示出数列的变化情况以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图，就可以得到数列的图像，数列的图像是一系列孤立的点,答案：一定顺序项首项n通项有限无限递增数列递减数列常数数列摆动数列定义域为正整数集N*(或它的有限子集1,2，n)上函数值一个公式递推公式通项公式递推公式第n项与序号n之间递推公式列出表格一系列孤立的点,1.数列是一种特殊的函数，与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？,数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在定义域和值域上数列可以看成是以正整数集N或它的有限子集1,2,3，n为定义域的函数，即自变量的取值必须是正整数，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式数列与函数之间的关系，是特殊与一般的关系数列中的项是按一定顺序排好的一列数，当把数列看作函数时，数列的项的集合对应于函数的值域，但数列an与函数f(n)an(nN)是不同的，an中的元素具有有序性，如将a1，a2，a3，an排成a3，a1，a2，an则为不同的数列，而对于函数f(n)an(nN)来说却是一样的,2根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是一个难点，克服这个难点的关键是什么？如何找出各项共同的构成规律得出通项公式呢？一个数列an的第n项an与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式anf(n)来表示，这个公式叫做这个数列的通项公式数列的通项公式的作用在于当用序号代替通项公式中的n，可以求出数列的各项，数列的通项公式确定了，数列也就确定了(1)不是所有的数列都能写出它的通项公式，如精确到1,0.1,0.01,0.001，的不足近似值构成的数列，即：3,3.1,3.14,3.141，就没有通项公式；,(2)同一个数列的通项公式不一定是唯一的，如数列1，1，1,1，的通项公式可以写成an(1)n，也可以写成ansin()(nN)等等，仅由前几项可以归纳出无限多个通项公式；(3)对某些数列，通项公式可写成一个式子，也可用分段式表达，如数列1,1，1,1，的通项公式还可以写成：,例1下列说法正确的是()A数列可以看做是一个定义域为正整数集N的函数B数列可以看作是一个定义域为正整数集N(或它的有限子集1,2,3，n)的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值C数列可以看作是一个定义域为正整数集N(或它的有限子集)的函数D数列可以看作是一个定义域为正整数集N(或它的有限子集)的函数值,解析：B中的1,2,3，n不能省略，如果只留下“N(或其有限子集)”几个字，很容易产生误解同时不能认为只有定义在N(或它的有限子集1,2,3，n)的函数将其函数值排列好才形成数列例如定义在实数集R上的函数yf(x)，函数值f(0)，f()，f()，f()，就是一个数列，它与数列f(1)，f(2)，f(3)，f(n)，是不同的数列这说明：数列可以看成一类特殊函数的有序排列好的函数值，但不是这一类的特殊函数，其函数值也能有序排列好，从而形成数列答案：B,变式训练1下列说法中，正确的是()A数列1,3,5,7可表示为1,3,5,7B数列1,0，1，2与数列2，1,0,1是相同数列C数列的第k项为1D数列0,2,4,6,8，可记作2n解析：解此题需对数列an与集合的含义理解透彻，A中1,3,5,7表示的是集合而不是数列，B中数列中的各元素是有顺序的，D中的2n并不能把前边的数列体现出来答案：C,已知数列的前几项，写出数列的一个通项公式解决这一问题的方法是：通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系；如果关系不明显时，可将之同时加上或减去一个数，或分解、还原等，将规律呈现出来，便于找通项公式；要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等；符号用(1)n或(1)n1来调整；分式的分子、分母分别找通项，同时，还要充分借助分子、分母的关系另外，值得注意的是并不是所有的数列都有通项公式，有些数列的通项公式不止一个,因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，应多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循，仁者见仁，智者见智此类题目正是考查学生聪明才智之处，还望学生们认真总结、细心钻研才是,(5)显然各项的分子均为1，其关键在分母上，而分母的规律不是很明显，注意到分母组成的数列1,3,7,13,21，递增速度也有点像平方数列，不妨从每一项对应减去平方数列的项组成数列0,1,2,3,4，其规律也就明显了,数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项,例3根据数列an的通项公式，写出这个数列的前4项：,变式训练3数列an的通项公式是an(nN*)(1)0和1是不是数列an中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列an中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？分析：若某个数是数列的某一项，则在通项中必存在一个正整数n与其对应，否则就不是数列中的项,(2)假设an中存在第m项与第m1项相等，即amam1，则解得m10.数列an中存在连续的两项第10项与第11项相等,数列的项与项数之间构成特殊的函数关系因此，涉及数列性质如单调性，最值问题等均可仿照求函数单调性，最值问题的方法来研究，不过在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意到函数的定义域为正整数集这一约束条件,例4已知数列an的通项公式为ann25n4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值,变式训练4一个数列的通项公式为an30nn2.(1)问60是否为这个数列中的项？(2)当n分别为何值时，an0，an0，an0，即n2n300.令30nn26或n6且nN*时，an0(或anan10，则只要证1(或1),例5在数列an中，an(n1)(nN*)(1)求证：数列an先递增，后递减；(2)求数列an的最大项,变式训练5设函数f(x)log2xlogx2(0x1)，数列an满足2n(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)判断数列的单调性,通项an与前n项和Sn有如下关系：此关系式是数列问题中“和”“项”转化的纽带在数列知识的学习中占有重要的地位望同学们仔细体会此关系式的应用过程及注意事项,例6(1)已知数列an的前n项和Sn2n23n，求数列通项公式an；(2)已知数列an的前n项和Sn5n3，求数列通项公式an.解析：(1)数列an的前n项和Sn2n23n，当n1时，a1S1212311.当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5.由此式中令n1，也得a11，a1适合an4n5(n2)故数列的通项公式为an4n5.,(2)数列的前n项和Sn5n3，当n1时，a1S1532.当n2时，anSnSn1(5n3)(5n13)45n1.此式中令n1，得a14，a1不适合an45n1(n2),变式训练6已知Sn是数列an的前n项和且Sn3n，nN*，求此数列的通项公式解析：当n1时，a1S13，当n2时，anSnSn13n3n123n1，显然a1不适合上式,1递推公式如果已知数列an的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种重要形式有的递推公式与通项公式之间也可以进行互化2递推法通过给出数列的某几项(初始值)和递推公式给出数列的方法叫做递推法，这个数列叫做递推数列,例7已知数列an满足a12a23a3nan(n1)(n2)，求an.,变式训练7(难题巧解)数列an中，a11，对所有的n2，都有a1a2a3ann2，求它的通项公式,分析：先化简an与an1的关系，再进行递推或归纳得出结论,变式训练8(1)数列an中，a12，an1an2(nN*)，求数列的通项公式(2)a11，an1，求an.,解析：(1)由题意得anan12，an1an22，an2an32，a3a22，a2a12.把以上n1个等式叠加得ana12(n1)，ana12(n1)2n(a12也适合公式),评析：利用递推公式循序渐进，发现数列的规律和性质，找到解决问题的方法此题求通项公式的方法叫叠加法,例9(数学与日常生活)一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途(包括A，B)共有8站，从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的一个邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各一个试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列，画出该数列的图像，并判断该数列的增减性,解析：将A，B之间所有站按序1,2,3,4,5,6,7,8编号，通过计算，上面各站剩余邮件数依次排成数列：7,12,15,16,15,12,7,0.填写下表：,该数列的图像如下图它在1,2,3,4上是递增的，在4,5,6,7,8上是递减的,变式训练9(探究性题)某人卖西瓜，第一位顾客买去了所有西瓜的一半加半个，第二位顾客买去所剩西瓜的一半加半个，依次类推，每一位顾客都买所剩西瓜的一半再加半个，第八位顾客恰好把西瓜买完，问共有多少个西瓜？分析：根据题意，列出递推关系式，然后进行求解,SEO优化SEO优化苍鬻阬,
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