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4等可能概型（古典概型）,随机试验样本空间、随机事件频率与概率等可能概型（古典概型）条件概率独立性,一、古典概型,1.假定某个试验有有限个可能的结果,所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即每个基本事件发生的可能性相同.“等可能性”,e1,e2,，en,二、古典概型中事件的概率计算,设试验E是古典概型,其样本空间S由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则事件A的概率为：,2,3,4,7,9,10,8,6,1,5,例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为110.把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.,S=1,2,10,记A=摸到2号球P(A)=?,记B=摸到红球P(B)=?,从3个元素取出2个的排列总数有6种,从3个元素取出2个的组合总数有3种,排列组合是计算古典概率的重要工具.,某城市的电话号码由8个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由8个不同数字组成的概率.,三、古典概型计算举例,例1将一枚硬币抛掷三次，求至少有一次出现正面的概率,解：设A为“至少有一次出现正面”,“全为反面”,请问：将一枚硬币抛掷三次，考察出现正面的次数，此是否是一个等可能概型？,例24只白球和2只红球放在一袋中，随机取球两次，每次取一只，分别作(a)放回抽样，(b)不放回抽样，求（1）取到两球都是白球的概率（2）两球同色的概率（3）取到两球中至少有一白球的概率,A：两球都是白色,B：两球都是红色,C：两球中至少有一白球,例3将n只球随机的放入N(Nn)个盒子中去，试求每个盒子至多有一只球的概率,有r个人，每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同天生日”的概率.,人数至少有两人同生日的概率200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994,所有这些概率都是在假定一个人的生日在365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的.实际上,这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大.当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.,例4有N件产品，其中有D件次品，今从中任取n件，恰有k件次品的概率是多少？（不放回抽样）,超几何分布,例5袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中取一只球，（1）放回抽样(2)不放回抽样，求第i（i=1,2,k）人取到白球（用B表示）的概率,解：,例61-2000的整数中随机的取一个数，取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率。,解：,A:能被6整除，B:能被8整除,例715名新生随机平均的分到三个班级，其中有优秀生3名，问（1）每一个班级各分配到一名优秀生的概率；（2）3名优秀生分在同一个班的概率。,例8把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：,C,I,S,N,C,E,E,拼成英文单词SCIENCE的情况数为,故该结果出现的概率为：,这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在1260次试验中大约出现1次.,解：七个字母的排列总数为7！,这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术.,具体地说，可以99.9%的把握怀疑这是魔术.,“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的.,1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.,需要注意的是：,在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.,2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.,例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？,下面的算法错在哪里？,错在同样的“4只配成两双”算了两次.,从5双中取1双，从剩下的8只中取2只,例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？,正确的答案是：,请思考：还有其它解法吗？,2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.,3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：,有n个人，每个人都以相同的概率1/N(Nn)被分在N间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率.,3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：,有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每个人在每站下车的概率为1/N(Nn)，求指定的n个站各有一人下车的概率.,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,一、条件概率,1.概念,如在事件A发生的条件下求事件B发生的概率，将此概率记作P(B|A).,一般P(B|A)P(B),5条件概率,例如，抛一枚硬币两次，观察出现正反面的情况，A为“至少有一次正面”，B为“两次掷出同一面”，求A已经发生的条件下B发生的概率。,P(B|A)P(B),P(B|A)P(AB),若事件A已发生,则为使B也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道A已发生,故A变成了新的样本空间,于是有(1).,设A、B是两个事件，且P(A)0,则称(1),2.条件概率的定义,为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.,3.条件概率的性质,设A是一事件，且P(A)0,则,1.对任一事件A，0P(B|A)1;,2.对于必然事件S，P(S|A)=1.,而且，前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率.,3.设B1,Bn,互不相容，则,2)从加入条件后改变了的情况去算,4.条件概率的计算,1)用定义计算:,P(B|A）=,A所含样本点总数,AB中B所含样本点个数,例1一只盒子装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品二次，不放回抽样，每次任取一只，设A为“第一次取到的是一等品”，B为“第二次取到的是一等品”，求P(B|A),将产品编号，1、2、3表示一等品，4表示二等品。,S=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),A=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,4),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4),AB=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),例2设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？,解：设A=能活20年以上，B=能活25年以上,依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4,所求为P(B|A).,注意P(AB)与P(B|A)的区别！,请看下面的例子,甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的.而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？,所求为P(AB).,甲、乙共生产1000个,189个是标准件,300个乙厂生产,设A=零件是乙厂生产,B=是标准件,所求为P(AB).,设A=零件是乙厂生产,B=是标准件,若改为“发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”,求的是P(B|A).,A发生,在P(AB)中作为结果;在P(B|A)中作为条件.,由条件概率的定义：,若P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(2),二、乘法公式,若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(3),若P(AB)0,则P(A)0P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A),当P(A1A2An-1)0时，有P(A1A2An）=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1),例3袋子中包含t个白球和r个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回，并且再加进a个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.,解：Ai(i=1,2,3,4)表示“第i次取到红球”,例4一种透镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10，求透镜三次落下而未打破的概率。,解：Ai(i=1,2,3)表示“第i次落下打破”,由条件概率的定义：,若P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(2),三、全概率公式和贝叶斯公式,若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(3),全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.,定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,Bn为E的一组事件，若,则称B1,B2,Bn为S的一个划分,设B1,B2,Bn是S的一个划分，且P(Bi)0，i=1,2,n,另有一事件A,则,全概率公式:,在较复杂情况下直接计算P(A)不易,但A总是伴随着某个Bi出现，适当地去构造这一组Bi往往可以简化计算.,全概率公式的来由,不难由上式看出:,“全”部概率P(A)被分解成了许多部分之和.,它的理论和实用意义在于:,设S为试验E的样本空间，B1,B2,Bn为E的一个划分，若P(A)0且P(Bi)0，i=1,2,n,贝叶斯公式:,常用的公式：,例6某电子元件厂所用的元件来自三个制造厂，以往记录数据如下：,三家工厂的产品在仓库中均匀混合，且无区别标志（1）随机取一只元件，是次品的概率。,（2）已知取到的是次品，问次品来自哪一家工厂的可能性最大？,贝叶斯公式所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因.,由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.,例7对以往数据分析，当机器调整良好时，产品的合格率为98%，而当机器发生故障时合格率为55%，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%，已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少？,解：A：产品合格B：机器良好,例8某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?,则表示“抽查的人不患癌症”.,已知P(C)=0.005,P()=0.995,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04,求解如下:,设C=抽查的人患有癌症，A=试验结果是阳性，,求P(C|A).,由贝叶斯公式，可得,代入数据计算得:P(CA)=0.087,即使检出阳性，尚可不必过早下结论有癌症，这种可能性只有8.7%(平均来说，1000个人中大约只有87人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.不能将P(C|A)与P(A|C)混淆,8支步枪中有5支已校准过,3支未校准.一名射手用校准过的枪射击时,中靶的概率为0.8;用未校准的枪射击时,中靶的概率为0.3.现从8支枪中任取一支用于射击,结果中靶.求:所用的枪是校准过的概率.,设A=射击时中靶,B1=使用的枪校准过,解:,例9,
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