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. .0 数学 小升初衔接教材 学生姓名:_ . .1 .5312031，负 分 数 ： 如 ，正 分 数 ： 如分 数 ，负 整 数 ： 如 ，正 整 数 ： 如整 数数理有 第一讲 有理数概念图: 1、 像 5，1，2， ， 这样的数叫做正数，它们都比 0 大，为了突出数的符号，可以在正数前面加“+”号，如+5，+1.22、 在正数前面加上“”号的数叫做负数，如10， 3， 3、 0 既不是正数也不是负数. 4、 整数和分数统称为有理数. 你能用所学过的数表示下列数量关系吗？ 如果自行车车条的的长度比标准长度长 2mm，记作+2mm，那么比标准长 度短 3mm 记作什么？如果恰好等于标准长度，那么记作什么？ 探索【1】 下列语句：所有的整数都是正数；所有的正数都是整数；分 数都是有理数；奇数都是正数；在有理数中不是负数就是正数，其中哪些 语句是正确的？ 探索【2】 把下列各数填在相应的集合内：15，6，0.9， ，0，0.32，21 ， ，8，2，27， ， ，3.4，1358.4157143 正整集： ； 负数集： ； . .2 正分数集： ; 负分数集： ； 整数集： ； 自然数集： . 探索【3】 如果规定向南走 10 米记为+10 米，那么50 米表示什么意义？ 轻松练习 1、下列关于 0 的叙述中，不正确的是（ ） A.0 是自然数 B.0 既不是正数，也不是负数 C.0 是偶数 D.0 既不是非正数，也不是非负数 2、某班数学平均分为 88 分，88 分以上如 90 分记作+2 分，某同学的数学成绩 为 85 分，则应记作（ ） A.+85 分 B.+3 分 C. 3 D.3 分 3、在有理数中（ ） A.有最大的数，也有最小的数 B.有最大的数，但没有最小的数 C.有最小的数，但没有最大的数 D.既没有最大的数，也没有最小的数 4、下列各数是正有理数的是（ ） A. 3.14 B. C.0 D. 1632 5、正整数、_、_统称正数，_ 和_ 统称分数， _和_统称有理数. 6、把下列各数填入相应的集合内. . .3 %8,25.07,318,4.61.0,3 整数集合： 分数集合： 负数集合： 有理数集合： 7、（1）某人向东走 5m，又回头向西走 5 米，此人实际距离原地多少米？若回 头向西走了 10 米呢？（以向东为正） （2）世界第一高峰珠穆朗玛峰海拔 8848m，江苏的茅山主峰比它低 8438m，茅山主峰的海拔高度是多少米？ 第二讲 数轴 概念图： . .4 与-与-数 轴 1、 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.2、 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度.3、 所有的有理数都可以用数轴上的点表示.4、 相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数. 探索【1】 把数3，1，1.2， ，3.5 ， 在数轴上表示出来，再用21 “0,n0 B.m0,na+c a+c0 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 探索【四】一口水井，水面比井口低 3m，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬， 第一次往上爬了 0.5m 后又往下滑了 0.1m；第二次往上爬了 0.42m，却又下滑了 0.15m；第三次往上爬了 0.7m，又下滑了 0.15m；第四次往上爬了 0.75m，又下 滑了 0.1m；第五次往上爬了 0.55m，没有下滑；第六次蜗牛又往上爬了 0.48m，问蜗牛有没有爬出井口？ 练习： . .5 1、下列各式中，运算正确的有（ ） （1） 918)(4;50)(3;612)(;0)2( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2、某天股票 A 开盘价 20 元，上午 11：30 跌 1.2 元，下午收盘时又涨了 0.5 元， 则股票 A 这天收盘价为（ ） A .18.3 元 B.20 元 C.0.5 元 D.19.3 元 3、一个数是 10，另一个数比 10 的相反数小 2，则这两个数的和为（ ） A.18 B.2 C.18 D.2 4、计算： ._1.6)25(_,)13(13)( 5、若|a|=3 ， |b|=2，则 a+b=_. 6、若 a0，b0，则 a+b_0;若 a0,b|b|一定正确吗？如果正确，请你说出 理由；如果不正确，请举出反例. . .21 第九讲 绝对值的进一步介绍（二） 探索【1】数 a、b 在数轴上对应的点如下图所示，试化简 .|a|a| a b0 探索【2】化简 .|x52|3 探索【3】化简 .|3x2|5| . 探索【4】若 .20yx|2y|1x| ）互 为 相 反 数 ， 试 求 （与 . .22 探索【5】 .aba|b|ba 的 值， 试 求为 有 理 数 ， 且、 练习： 1、 化简 .|51x| 2、 已知；有理数 a、b、 c 的位置如下图所示，化简 .|ba|c|a| b ca 0 . .23 3、 若 .ba|b|a| 应 满 足 的 关 系， 试 求 4、 .|ba|ba|0|ba| 205205， 化 简已 知 5、 .|1x5|3|x2| 化 简 6、设 a 是有理数，求 a+|a|的值. 第十讲 一元一次方程 . .24 探索【1】 解下列方程： （1） （2）m534 x1856 （3） （4）)72(65)8(xx )13(72)1(3x 探索【2】 解方程 123x 探索【3】小张在解方程 （ 为未知数）时，误将 看做+2 ，得1523xa x2 方程的解为 =3，请求出常数 的值和原方程的解 .x . .25 探索【4】解关于 的方程x124mx 练习： 1、 如果式子 与 互为相反数，则 =_.32x5x 2、 当 k=_时，方程 的解是 .83k2 3、 若代数式 与 的值相等，则 =_.612x 4、 如果 是关于 的一元一次方程，那么 =_，此时方程的解0345ax a 为_. 5、 解下列方程 523)1(x )3(4)12(3x )65(21)34()x 2)21(2)4( x3|12|)5(x . .26 6、 解关于 的方程.x 6234)1(m4329)(ax 7、 若 求 的值.,0)43(|2| 2yx2)1(y 8、解方程 ，小明在去分母时，方程的右边 没有乘以 3，因132ax 1 而他求得方程的解为 =6.求 的值，并正确地解方程. 巩固与加强： 一元一次方程的应用 1、 利民商店把某种服装按成本价提高 50%后标价，又以 7 折卖出，结果每件 仍获利 20 元，这种服装每件的成本是多少元？ . .27 2、A 、B 两地相距 20 千米，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行， 已知甲的速度为 4.5 千米/ 时，乙的速度为 5.5 千米/时，求甲、乙两人几小时后 相遇？ 3、 某中学开展校外植树活动，让七年级学生单独植树，需要 7.5 小时完成；让 八年级学生单独种植，需要 5 小时完成，现在让七年级和八年级学生先一起 种植 1 小时，再由八年级学生单独完成剩余部分，共需多少小时完成？ 4、 丽水市为打造“浙江绿谷”品牌，决定在省城举办农副产品展销活动，某 外贸公司推出品牌“山山牌”香菇、“奇尔”牌慧明茶共 10 吨前往参展， 用 6 辆骑车装运，每辆汽车规定满载，且只能装运一种产品；因包装限制， 每辆汽车满载时能装香菇 1.5 吨或茶叶 2 吨，问装运香菇、茶叶的汽车各需 要多少辆？ . .28 5、 晓晓商店以每支 4 元的价格进 100 支钢笔，卖出时每支的标价是 6 元，当 卖出一部分钢笔后，剩余的打 9 折出售，卖完时商店盈利 188 元，其中打 9 折的钢笔有几支？ 6、 某班学生到一景点春游，队伍从学校出发，以每小时 4 千米的速度前进。 走到 1 千米时，班长被派回学校取一件遗忘的东西。他以每小时 5 千米的速 度回校，取了东西后又以同样的速度追赶队伍，结果在距景点 1 千米的地方 追上了队伍。求学校到景点的路程。 7、 小强问叔叔多少岁了。叔叔说：“我像你这么大时，你才 4 岁。你到我这 么大时，我就 40 岁了。”问叔叔今年多少岁? 8、甲、乙两书架各有若干本书。如果从乙架拿 5 本放到甲架上，那么甲架上的 书就比乙架上剩余的书多 4 倍。如果甲架拿 5 本书放到乙架上，那么甲架上剩 余的书是乙架上书的 3 倍。问原来甲架、乙架各有书多少本？ . .29 9、修一条公路，甲队单独修需 10 天完成，乙队单独修需要 12 天完成，丙队单 独修需 15 天完成。现在先由甲队修 2.5 天，再由乙队接着修，最后还剩下一段 路，由三队合修 2 天才完成任务。求乙队在整个修路工程中工作了几天？ 回顾与检测 一、知识梳理： 1、 有理数的分类：（1）按整数、分数分类：_;(2)按正数、负数、 零分类：_. 2、 相反数：只有_ 不同的两个数，叫做互为相反数，一般地，a 和_互 为相反数. 3、 绝对值：一般地，数轴上表示数 a 的点与_叫做数 a 的绝对值. 4、 倒数：_的两个数互为倒数. 5、 有理数加法法则： _ _ . .30 6、 有理数的减法法则： _. 7、 一元一次方程的特点：_. 8、 解一元一次方程方程的步骤： _ _. 二、练习： 1、若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，|m|=5 ，则 =_.cdbam 2、计算： 195.32.10549)( 32)87(42)31()2( 3、化简 |12|x 4、解方程： （2）)72(65)8(1xx 63514xx . .31 （3） （4）7|52|x 347xa 4 、古代有一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每 袋货物都是一样重的，驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给 我 1 袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你 1 袋，我们才恰好驮的一样 多！”那么驴子原来所驮货物是多少袋？ 5、文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西 边 30m 处，玩具店在书店东边 90m 处，小明从书店沿街向东走 40m，接着又 向东走 m，此时小明的位置在 _.70 甲说：小明在玩具店东边 20m 处； . .32 乙说：小明在玩具店西边 40m 处； 甲、乙两人无法找到统一的答案，谁也说服不了谁，作为同学的你，能否 用一个简明有效的方法帮助他们解决纷争呢？ 第十一讲 二元一次方程组（一） 探索【1】你能观察出二元一次方程组 的解吗？. 02yx 探索【2】解下列二元一次方程组： . .33 （1） .523,yx （2） . 83,215yx 练习： 1、 下列方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，为什么？ （1） ；（2 ） ；（3） ；（4） ；1yx12yxzyx3265xy （5） .43 . .34 2、把下列方程中的 y 写成 x 的代数式 （1） （2）0143x 0125yx 3、若 是方程 的解，则 =_.21yx1ayxa 4、解下列二元一次方程组 . 894,132) ( ;823,)(1x)(tsy . .35 第十二讲 二元一次方程组（二） 探索【1】用代入消元法解下列方程组： （1） （2）12yx 65342yx （3） （4）71yx 329yx . .36 探索【2】你能用不同的方法，解上面的第（3）、（4）小题吗？ 探索【3】用加减消元法解下列方程组： （1） （2）152yx 17432yx 练习： . .37 1、 用加减消元法解下列方程组： （1） （2）19237yx 1563yx （3） （4）524ts 5796yx 2、 分别用代入消元法和加减消元法解方程组 ，并说明两种方法的3157yx 共同点. . .38 3、联系拓广：解三元一次方程组 1826zyx 第十三讲 二元一次方程组的应用 探索【1】 已知二元一次方程 有公共解。02,03,42kyxyxyx 求 的值。k 探索【2】 若 与 的值互为相反数，试求 与 的值。|4|yx2)7(yx xy . .39 探索【3】 一个两位数，十位数字与个位数字的和是 8。这个两位数除以十位 数字与个位数字的差，所得的商是 11，余数是 5。求这个两位数。 练习： 1、 已知代数式 ，在 =0 时，值为 3； =1 时，值为 9.试求 的值。bax3xba, 2、 已知代数式 ，在 =1 时，值为 3； = 时，值为 4。求 =3 时，bxa32 x2x 这个代数式的值。 3、 若 ，试求 与 的值。0|523|42| xyx xy . .40 4、 若 ，试求 与 的值。0|324|)63(2yxyx xy 5、 一个两位数，个位数字比十位数字大 5，而且这个两位数是它的数字和的 3 倍。求这个两位数。 6、以绳测井。若将绳三折之，绳多五尺；若将绳四折之，绳多一尺。绳长、井 深各几何？ . .41 EB C D A E D C B AO 第十四讲 线段和角 探索【1】数一数图 14-1 中共有多少条线段？ 图 14-1 你能数出图 14-2 中共有多少条线段吗？ A nA1 A2 A3 A0 图 14-2 探索【2】如图 14-3 所示，五条射线 OA、OB 、OC、OD、OE 组成的图形，小于 平角的角有几个？如果从 O 点处引 n 条射线，能组成多少个小于平角的角？ （其中最大角小于平角） . .42 DFCBEA B E D C A O DCBA 图 14-3 探索【3】已知如图 14-4，线段 AD=6cm，线段 AC=BD=4cm，E、F 分别是线段 AB、CD 的中点，求 EF。 图 14-4 探索【4】如图 14-5 所示，OC 是AOD 的平分线，OE 是BOD 的平分线。 （1） 如果AOB=130，那么COE 是多少度？ （2） 在（1）问的基础上，如果COD=20，那么BOE 是多少度？ 图 14-5 练习： 1、 如右图所示，B、C 是线段 AD 上的两点， 且 CD= AB， AC=35cm，BD=44cm，23 求线段 AD 的长。 . .43 2、 已知线段 AB=10cm，射线 AB 上有一点 C，且 BC=4cm，M 是线段 AC 的中点， 求线段 AM 的长。 3、 已知方格纸中的每个小方格是边长为 1 的正方形，A、B 两点在小方格的顶 点上，位置如下图所示，请在小方格的顶点上确定一点 C，连接 AB、AC、BC ，是三角形的面积为 2 个平方单位。 B A 4、 如下图所示，线段 AB=4，点 O 是线段 AB 上一点，C 、D 分别是线段 OA、OB 的中点，小明据此很轻松地求得 CD=2，在反思过程中突发奇想：若 点 O 运动到 AB 的延长线上或点 O 在 AB 所在的直线外，原来的结论 “CD=2”是否仍然成立？请帮小明 画出图形并说明理由。 . .44 D CB A BDOCA 第十五讲 三角形的内角和 探索【1】如图 1，四边形 ABCD 为任意四边形，求它的内角和。 图 1 如果是任意的 n 边形呢？它的内角和是多少度？ 探索【2】求证：三角形的外角和等于 360。 . .45 探索【3】求证：一般地，n 边形的外角和等于 360。 探索【4】已知一个四边形的第二个内角是第一个内角的 3 倍，第三个内角是第 二个内角的一半，第四个内角比第三个内角大 10，求它的第一个内角。 练习： 1、 计算 10 边形的内角和及外角和。 . .46 D CB A 2、 已知四边形的一个内角是 56，第二个内角是它的 2 倍，第三个内角比第 二个内角小 10，求第四个内角的大小。 3、如图 2，A=80，ABC 的平分线和ACB 的外角平分线相交于 D，求 D 的大小。 图 2 4、 如图 3，求A+B+C+D+ E 的大小。 . .47 ED CB A 第十六讲 整式 知识梳理： 多 项 式 的 系 数多 项 式 的 次 数多 项 式 的 定 义多 项 式 单 项 式 的 系 数单 项 式 的 次 数单 项 式 的 定 义单 项 式整 式 单项式是指数字与字母的乘积，单独的数字和字母也是单项式。单项式前 面的数字（连同符号）叫做单项式的系数，所有字母的指数和是单项式的次数。 多项式是指几个单项式的和，组成多项式的各个单项式叫多项式的项，其 中次数最高的项的次数是多项式的次数。 多项式和单项式统称为整式。 探索【1】下列各式是否是单项式，如果是，指出它的系数和次数；如果不是， 说明理由。 （1） +3；（2） ；（ 3） ；（4） ；（5） ；（6） ；xx1r21ba1xy （7） ；（8）abcy . .48 探索【2】指出下列多项式的项和次数。 （1） + + ；（2） +3ab233n21 探索【3】把多项式 + + + +1 重新排列：（1）按5xy344yx2xy 的升幂排列；（2）按 的降幂排列。x 探索【4】若单项式 的次数是 5，且 m 为正整数，n 为质数，求 m，nnmyx12 的值。 练习： 1、下列各式是整式的是（ ） A、 B、 =0 C、 + D、 + 0yxyxx1yx1y 2、代数式 ， +y，0，2， ， ， ， ， 中，,3xabcx24mak2b10a 单项式的个数为（ ） A、4 个 B、5 个 C、6 个 D、7 个 . .49 3、对于 4 + ,下列说法正确的是（ ）2a13 A、是二次二项式 B、是二次三项式 C、是三次二项式 D、是三次三 项式 4、下列说法错误的有（ ） （1） 与 3 是同类项；（ 2） 与 是同类项；（3） 与 是2ba4245m36 同类项；（4） 与 可以看成同类项。)(ba)( A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 5、单项式 的系数是_,次数是_；x 单项式 的系数是_,次数是_。3y 6、多项式 + 是_ 次_项式，其中四次项是22nm351 _，二次项系数是_，常数项是_. 7、把多项式 + 按 的降幂排列为_。yx32245x 8、若 是三次单项式，则 m=_。m 9、若 是关于 ，y 的五次单项式，且系数为 。求 n， 的值。axnx 05.a 10、如果单项式 与 是关于 ，y 的单项式，且它们是同类项。ymxn5a32x （1）求 的值；207)(a （2）若 =0，且 0，求 的值。yxn5a32xy206)5(nm 第十七讲 整式的加减 . .50 减减减减 减减减 减减减减减 一、知识梳理： 二、例题精讲 探索【1】计算：（1） .7,)1(5)6(3)45(2xxx其 中 （2） .21,2, zyyzyz其 中 探索【2】 与多项式 C 的差是 ，1345xx 5432245xx 求 C. 探索【3】已知代数式 的值是 6，求代数式 的值是多少？132a5962a . .51 探索【4】已知 的值.)4()23(2,1,3 xyxyyxxy ）求 （ 练习： 1、已知 表示一个两位数， 表示一个一位数，那么把 放到 的左边所得到xyyx 的三位数是（ ） A、 B、 C、 D、yxx1010 2、若 是同类项，则 的值是（ ）na382与 n A、3 B、1 C、2 D、4 3、若代数式 的值是 9，则代数式 的值为（ ）52x 232x A、8 B、9 C、10 D、12 4、若 A 是四次多项式，B 是四次多项式，则 可能是（ ）次的整式。BA A、4 B、0 C、1 D、不高于 4 5、计算 的结果是（ ）23a A、 B、 C、 D、22443a4a 6、若 _07,022 aa则 7、 =_。)(3c . .52 8、若 。_,32,232 BABAyxByxA则 9、若一个多项式加上 ，则这个多项式为 _。122得 10、若 的值为_。babab3)4(,1,3则 11、代数式 在取最小值时，代数式 的值为)42( )12(a _。 12、当 时， 的值是 ，求当 =5 时， 的值。5x813bxa5x83bx 13、 互为相反数， 互为倒数，e 的绝对值是 2，并且ba、 dc、 。求 的值。213ex )3(492xx 14、已知多项式 与多项式 之和是一个单项式，求 与bax2 abx2 a 的关系b 第十八讲 同底数幂的乘法 知识梳理： ),(为 正 整 数公 式 ： 相 加法 则 ： 底 数 不 变 ， 指 数同 底 数 幂 相 乘 nmanm 例题精讲： 探索【1】判断下列格式是否正确。 （1） （ ）332a . .53 （2） （ ）5x （3） （ ）55)(ab （4） （ ）532yy （5） （ ）1025x 探索【2】计算下列各式： （1） （2）10n 1128 （3） （4）)2(109 222)()()(abba 探索【3】（1）已知 求 的值；,3,2nmanm （2）已知 ，求 x 的值。431x 探索【4】已知 的值。12,291axxa求 . .54 练习： 1、 可写成（ ）13mx A、 B、 C、 D、13 13mxmx3 12mx 2、下列计算不正确的是（ ） A、 B、32)(m 624)( C、 D、523 63m 3、计算 等于（ ）)8()(11nn A、 B、 C、 D、n28 )1(2nn248 62n 4、计算 等于（ ）3255 A、5 B、25 C、1 D、0 5、 。_,23234 xxx 6、 。)();(61aa 7、 。_)(223xyxy 8、 。321nna 9、若 。nmnm5,64,32求 . .55 10、判断 的关系。nx与)( 第十九讲 幂的乘方与积的乘方 知识梳理： ),()(为 正 整 数公 式 ： 相 乘法 则 ： 底 数 不 变 ， 指 数幂 的 乘 方 nman 积的乘方 )(为 正 整 数）公 式 ： （ 乘 方 再 把 幂 相 乘法 则 ： 积 中 各 因 式 分 别bn 例题精讲： 探索【1】判断下列各式计算是否正确。 （1） ；（2） ；（3） ；（4）734)(y63a7342)( ；2a （5） 242)(yx . .56 探索【2】计算： （1） （2） 326)()5(aa 535654)()2(xx 探索【3】比较 的大小。345, 探索【4】若 ，求 的值。352yxyx24 探索【5】试确定 的个位数字是几？2083 练习： 1、计算 的结果是（ ）32)(ab . .57 A、 B、 C、 D、5ab6ab53ba63ba 2、化简 的结果是（ ）32)( A、 B、 C、 D、5a5a6a6a 3、若 m、n、p 是正整数，则 值是（ ）pnm)( A、 B、 C、 D、a npa npapnma 4、等式 成立的条件是（ ）)0(nn A、 为奇数 B、 为偶数 C、 为正整数 D、 为整数nn 5、如果 成立，那么（ ）15938)2(yxyxnm A、m=3， =2 B、m=3， =3 C、m=6， =6 D、m=3， =5nnn 6、 ._)3(_;)( 232 an 7、 ._)(;) 3223141 abm 8、若 ，则2nx._(43nx 9、已知： 的值。313)(,21, nyy求 10、 209207208)1()5.()3( . .58 11、已知 求证：,12,6,32cba cab 第二十讲 同底数幂的除法 知识梳理 ),0(1)0,(0是 正 整 数负 指 数 幂 ：零 指 数 幂 ： 为 正 整 数 ，公 式 ： 底 数 不 变 ， 指 数 相 减法 则 ： 同 底 数 幂 相 除 ，同 底 数 幂 除 法 paanmapnm 例题精讲 探索【1】计算 （1） （2）58)(x 3252)()(ba （3） （n 为正整数） （4）nxy223)()( 67)()(xyx （5） （6）203 02)3()(4 . .59 （7） （8）)0(,)(432xx)221nn 探索【2】已知：（1） 的值；nmnm32510,410求 （2） 的值。knknxx2,6,9求 探索【3】求出下列各式中的 。x （1） （2）8x 321)(x 同步练习： 1、计算： 的结果是（ ）x3 A、 B、 C、 D、34x32x 2、下列各式运算正确的是（ ） A、 B、 C、 D、mn3y3623)(x632a 3、 等于（ ）57)( A、 B、25 C、5 D、2 5 . .60 4、下列计算 ，正1)2510)(4;.01)3(;.01)2(;.0)(1 06 确的个数为（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 5、若 的关系为（ ）baxba、则, A、 B、 C、 D、1ba1ba 6、计算 的结果是（ ）m39 A、3 B、9 C、 D、m3m9 7、 。_3)20(2 8、 。)(2yxy 9、已知 （填“”，“”或“”）。nmn_,10则 10、计算： （1） （2）)0(,)()(23926 aaa 02213 7)(8 11、计算下列各式（在横线上填“”，“”或“”）。 ； ； ； ； ；12_23_34_45_56_ ； ；67 78 根据上题猜想：（1） 的大小关系是什么？（ n 为正整数）nn)1(与 （2）是否知道 的大小？2072087与 . .61 （3）是否能判断 的大小？2072087与 第二十一讲 整式的乘法 一、知识梳理： 法 则多 项 式 乘 多 项 式 法 则单 项 式 乘 多 项 式 法 则单 项 式 乘 单 项 式整 式 乘 法 单项式乘单项式：单项式与单项式相乘就是把它们的系数相乘作为积的 系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 单项式乘单项式结果仍是单项式。 单项式乘多项式：单项式与多项式相乘就是根据乘法分配率用单项式去 乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 单项式乘多项式，多项式是几项，结果就有几项。 多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项， 再把所得的积相加。 多项式乘多项式的结果有时能合并同类项。 二、例题精讲： 例 1、当 的值。abbaaba 3)25()5(10,23, 2时 ， 求 例 2、已知计算 值 。，项 ， 求和的 结 果 不 含 nmxxnmx 2323)35)( . .62 例 3、 的 值 分 别 是 多 少 ？、成 立 ， 则要 使 baxbxax4523)(32 例 4、 项4121323 )( xdxcbxadcbxa 展 开 ， 试 判 断 展 开 式 中不 将 的系数是多少？ 三、练习： 1、 等于（ ）)10(4.0()7.(3 A、 B、 C、 D、8.278.2810.2810.2 2、下列等式成立的是（ ） A、 B、aaamm7)7(22 mmmaaa7)7(22 C、 D、22 22 3、一个长方体的长、宽、高分别是 ，它的体积是（ ）x和，43 A、 B、 C、 D、24x2x286xx862 4、 成立，则 （ ）2322)3( ybya若 的 值 为、 ba . .63 A、 B、 C、 D、2,3ba3,2ba2,3ba3,2ba 5、 。， 则若 _5)1()5(kkk 6、 。的 一 次 项 ， 则的 结 果 不 含若 _2 axxa 7、 的积的项数是_。)( 2121 nnbb、 、 、 、 、 8、 =_。4)yxyx 9、 。求 ：已 知 CAB2,418,21,32: 232 yxCxyBA 10、 有多可 以 取 的 值， 则均 为 整 数 ， 且已 知 mxbxamba 36)(, 2 少个？ 第二十二讲 平方差公式（1） 一、知识梳理 . .64 多项式乘法 两数和与这两数差的积 应 特 殊 公 式 2)(baba 用 平方差公式： 2)(baba 即：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差 二、例题精讲 例 1、运用公式计算下列各式 （4x+3y）(4x-3y) (-5x+1)(-5x-1) ( +9) (4 +1)3(a2 )12(a2 例 2 用简便方法计算 504496 -49995001250 例 3（2+1）（ +1）（ +1）（ +1）24n2 . .65 例 4、观察下列等式： ， ， ， ，2103925048246025705 ，请你把发现的规律用字母表示出来： 。_nm 三、练习： 1、下列各式乘法中，不能应用平方差公式计算的是（ ） A、 B、)(ba)(22yx C、 D、nm22cdc 2、 的计算结果是（ ）)1()1(2a A、 B、 C、 D、4414a41a 3、 的计算结果正确的是（ ）2086207 A、1 B、-1 C、2 D、2005 4、对于任意的整数 ,能整除代数式 的整数是（ m)2()3(mm ） A、4 B、3 C、5 D、2 5、 591)(_)1( yxyx 6、 =(_)7ba 7、 256)(_)41( 42 xx 8、5.14.9=(+) ( -)=( ) . .66 9、三个连续的奇数，中间一个是 ，求这三个数的积。a 10、计算： 。)12(7538 11、试求： 的个位数字。1)9()1()9()18842 12、计算： 。129781022 、 、 、 第二十三讲 完全平方公式（2） 一、知识梳理 多项式乘法 两数和（差）平方 应用 特 殊 公 式 22)(baba 完全平方公式： 22)(baba . .67 即:两数和（差）的平方等于两数的平方和，加上（或减去）这两数乘积的 2 倍。 完全平方公式是特殊的多项式乘多项式 完全平方公式计算的结果是 3 项，其中两项是完全平方式，一项为 2 倍项 公式中 既可以是单项式，也可以是多项式。ba, 二、例题精讲 例 1、运用公式计算下列各式 2)(m)(2bab (3) (4)(zyxz2)(zyx 例 2、用简便方法计算： 192)315( 例 3、 已知 ,求 + )1(4,3ab2b 已知 和 + 的值2xyxy求,2 . .68 三、练习 1、下列等式不成立的是（ ） A =9 -6 + B =2)3(baa2b2)(cba2)(ba C = -xy+ D ( - )= -2yx412yyx24xy 2、下列格式中计算结果是 2 - - 的是（ ）ab2 A B - C - D 2)(ba)(2)(ba2)(ba 3、若（7b- ）N= -49 ,则因式 N=（ ）24a2b A 7b- B -7b+ C -7b- D 7b+2a22a2a 4、 = +2)(b2)( 5、若 =1, +b=2,则 + =a2ab 6、 - =2)3(yx2)(yx 7、若多项式 +k +25 是另一个多项式的平方，求 k 的值？2 . .69 8、设 -2 + +6 +10=0,求 , 的值？2x2yxy 9、已知： 的值求,207)6)(208(a22)06()8(aa 第二十四讲 整式的除法 一、 知识梳理 单项式除以单项式法则 知识梳理 应用 多项式除以单项式法则 单项式除以单项式法则： 单项式除以单项式，就是把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式，对 于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 单项式除以单项式法则：相同的两个单项式相除结果是 1，而不是 0 多项式除以单项式法则： 多项式除以单项式，先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商 相加。 多项式除以单项式，结果是多项式 . .70 二、 例题精讲 例 1、 计算下列各式 (yxz4352)()23abc2 例 2、 计算下列各式 xx10)03(34 xyzzyx8)1632(32 例 3、 已知被除式是 ，商式是 ，求除式。21246nmnmnbaba nmba2 例 4、先化简，再求值， 5.1,3,2)()(2 yxyxyx其 中 例 5 小强做一个多项式除以 的作业时，由于粗心误以为乘以 ，结果是a21 a21 ，你能知道正确的结果是多少吗？2348ab 三、 练习 . .71 1、计算 的结果是（ ）)()(2nmnmxx A、 B 、 C、 D、 n3n3nmx2nmx2 2、当多项式 M 与单项式 的乘积为 时，则 M=（ ）2ab234abba A、 B、 1682ba1 C、 D、432 682ab 3、已知 ，那么 的值是（ ）25,mn nm A、5 B、10 C、15 D、25 4、已知 ，那么 的值是（ ）2378babnmnm, A、 B、 C、 D、,1,43,13,2nm 5、计算 （ ）2528xy 6、计算 =（ ）1123)9( nnnaa 7、多项式 ，一共有 项，它除以单项式 （ 为mnnnaa23212. na 自然数），其商式应是（ ）项式，商式为（ ） 8、光在空气中的传播速度为 米秒，一架波音飞机的速度为 米8103 3105.2 秒，则光的速度是这架飞机的（ ）倍。 . .72 探索规律型中考试题解析 （1） 【例 1】在数学活动中，小明为了求 的值（结果用 n 表 示），设计如图 a 所示的图形。（1）请你利用这个几何图形求 的值为 。 （2）请你利用图 b，再设计一个能求 的值的几何 图形。 【例 2】观察下面的图形（每一个正方形的边长均为 1）和相应的等式，探 究其中的规律： . .73 （1）写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示； （2）猜想并写出与第 n 个图形相对应的等式。 2、动态类 【例 3】右图是一回形图，其回形通道的宽与 OB 的长均为 1，回形线与射 线 OA 交于点 A1，A 2，A 3，。若从 O 点到 A1 点的回形线为第 1 圈（长为 7）， 从 A1点到 A2点的回形线为第 2 圈，依此类推。则第 10 圈的长为 。 3、数字类 . .74 【例 4】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据 ， ， ， ，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。请你 按这种规律写出第七个数据是 。 【例 5】按下列规律排列的一列数对（1，2）（4，5）（7，8），第 5 个数对是 。 【例 6】一组按规律排列的数： ， ， ， ， ，请你推断第 9 个数是 【例 7】把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、 第三行，中间用虚线围的一列，从上至下依次为 1、5、13、25、，则第 10 个数为 。 4、计算类 【例 8】观察下列等式： ， 则第 n 个等式可以表示为 。 【例 9】观察下列各式： ， ， ，根据前面的规律，得： 。（其中 n 为正整数） . .75 【例 10】观察下列等式：观察下列等式：41=3，9-4=5，16-9=7，25- 16=9，36-25=11，这些等式反映了自然数间的某种规律，设 n（n1）表 示了自然数，用关于 n 的等式表示这个规律为 。 5、 图形类 【例 11】“ ”代表甲种植物，“ ”代表乙种植物，为美化环境，采用 如图所示方案种植。按此规律，第六个图案中应种植乙种植物 株。 探索规律型中考试题解析 （2） 1、（荆门市）观察下面的单项式： a，-2 a2，4 a3，-8 a4，根据你发现的规 律，第 8 个式子是_ . .76 2、.（武汉市）如图 3 是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接 而成.依此规律，第 5 个图案中小正方形的个数为_. 3、（威海市）观察下列等式： 3941=40 2-12，4852=50 2-22， 5664=60 2-42，6575=70 2- 52，8397=90 2-72 请你把发现的规律用字母表示出来：mn= 4、（烟台市）观察下列各式： ，请你将发现的规律用含自然数 n(n1)的等式表示出来 5、（岳阳市）观察下列等式： 第一行 3=4-1 第二行 5=9-4 第三行 7=16-9 第四行 9=25-16 按照上述规律，第 n 行的等式为_. 6、（重庆市）将正整数按如图所示的规律排列下去.若用有序实数对 （ n， m）表示第 n 排，从左到右第 m 个数，如（4，3）表示实数 9，则 （7，2）表示的实数是 . . .77 7、.（韶关市）按如下规律摆放三角形： 则第（4）堆三角形的个数为_；第(n)堆三角形的个数为 _. 8、.（日照市）把正整数 1，2，3，4，5，按如下规律排列： 1 2，3， 4，5，6，7， 8，9，10，11，12，13，14，15， 按此规律，可知第 n 行有 个正整数 9、.（旅顺口区）找规律下列图中有大小不同的菱形，第(1)幅图中有 1 个， 第(2)幅图中有 3 个，第(3)幅图中有 5 个，则第( n)幅图中共有 个 10、（潍坊市）观察下列等式： 16-1=15； 25-4=21； 36-9=27；49-16=33； . .78 用自然数 n（其中 n1）表示上面一系列等式所反映出来的规律是 11、（沈阳市）有一组数：1，2，5，10，17，26，请观察这组数的 构成规律，用你发现的规律确定第 8 个数为 . 12、.（赤峰市）观察下列各式： 15 2=1（1+1）100+5 2=225 25 2=2（2+1）100+5 2=625 35 2=3（3+1）100+5 2=1225 依此规律，第 n 个等式（ n 为正整数）为 13、.（自贡市）一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据 ， ， ， ，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照 这种规律，写出第 n（ n1）个数据是_ 14、.（临安市）已知： ，若 10 102 符合前面式子的规律， 则 a b = _ 三、解答题 15、（舟山市）给定下面一列分式： .(其中 x0) (1)把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律? (2)根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第 7 个分式 16、（贵阳市）如图 5，平面内有公共端 点的六 条射线 OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线 OA 开始按 逆时针 方向依次在射线上写出数字 . .79 1，2，3，4，5，6，7， （1）“17”在射线 上； （2）请任意写出三条射线上数字的排列规律； （3）“2007”在哪条射线上？ . .80 期 末 测 试 一、选择题：（以下每小题均有 A、B、C、D 四个选项，其中只有一个选项是 正确的，请把正确的选项的字母填入下列表内。每题 2 分，共 20 分） 1下面几组数中，不相等的是 ( ) A、3 和+(3) B 、5 和(+5) C、 7 和( 7) D、+2 和2 2下图中哪个图形经过折叠后可以围成一个棱柱 （ ） A B C D 3用科学计数法表示：361000000 ( ) A、361 106 B、36.1 107 C、3.61 10 8 D、0.36110 9 . .81 4下列各式中，正确的是（ ） A、 B、2a3b5ab C、7ab3ab 4 D 、yxyx22523a 5下列说法中正确的是（ ） A、最小的整数是 O B、最大的负有理数数是 1 C、绝对值较大的数较大 D 、如果两个数互为相反数，那么它们的绝 对值相等。 6下列说法中错误的是（ ） A、 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； B、两点之间线段最短； C、过一点有且只有一条直线与已知直线平行； D、经过两点有且只有一条直线； 7、钟表的时针与分针分别指向 3 时 30 分时，时针与分针所成的较小的角的度 数为（ ） A、30 B、60 C、75 D、90 8某工厂原有工人 人，若现有人数比两年前原有人数减少 35，则该工厂现x 有人数为（ ） A、 B、 C、（135%） D、%351351xx ）（ 351 9一个小虫在数轴上先向右爬 2 个单位，再向左爬 6 个单位，正好停在3 的 位置，则小虫的起始位置所表示的数是（ ） A 、1 B、 3 C、4 D、1 10如果 是方程 的根,那么代数式 的值2XXba21124ba 是（ ）. A、1 B、4 C、7 D、不能确定 二填空题：(每题 2 分，共 20 分) 11若 a、b 互为倒数，则 a b 23 =_ _； . .82 12在一个球袋中放有 7 个红球、3 个白球、2 个黄球，把球摇匀后摸到 _球的可能性最大 13写出x 2y 的同类项： _。（只 要求写一个） 14在右边的日历中，任意圈出一竖列上 相邻的五个数， 设中间一个数为 ，则这a 五个数之和为： （用含 的代数式表示）a 15绝对值不大于2的整数有_ 个； 16如图，若 为线段 的中点， 在线段 上， ， ，则CABDCB5A4DB 的长度是_；D 17已知一不透明的正方体的六个面上分别写着 1 至 6 六个数字，如图是我们 能看到的面的三种情况，那么 2 的对面数字是_ ； 18国家统计局最近公布的首次中国城 市居民家庭财产调查总报告显示，截止 2002 年 6 月底，我国城市居民家庭财产总 值户均达 22.83 万元。其中户主文化程度 为小学、初中、高中、大学毕业的户均财 产数值如右图所示： 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
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