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数量关系,第八章,第一部分向量代数,第二部分空间解析几何,在三维空间中:,空间形式点,线,面,基本方法坐标法;向量法,坐标,方程(组),空间解析几何与向量代数,四、利用坐标作向量的线性运算,第一节,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,机动目录上页下页返回结束,向量及其线性运算,第八章,表示法:,向量的模:,向量的大小,一、向量的概念,向量:,(又称矢量).,既有大小,又有方向的量称为向量,向径(矢径):,自由向量:,与起点无关的向量.,起点为原点的向量.,单位向量:,模为1的向量,零向量:,模为0的向量,有向线段M1M2,或a,机动目录上页下页返回结束,规定:零向量与任何向量平行;,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量共线.,若k(3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k,个向量共面.,机动目录上页下页返回结束,二、向量的线性运算,1.向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律:,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加.,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,2.向量的减法,三角不等式,机动目录上页下页返回结束,3.向量与数的乘法,是一个数,规定:,可见,总之:,运算律:,结合律,分配律,因此,机动目录上页下页返回结束,定理1.,设a为非零向量,则,(为唯一实数),取,且,再证数的唯一性.,则,取正号,反向时取负号,机动目录上页下页返回结束,则,例1.设M为,解:,机动目录上页下页返回结束,三、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z轴(竖轴),过空间一定点o,坐标面,卦限(八个),zox面,1.空间直角坐标系的基本概念,机动目录上页下页返回结束,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点P,Q,R;,坐标面上的点A,B,C,点M,特殊点的坐标:,有序数组,(称为点M的坐标),原点O(0,0,0);,机动目录上页下页返回结束,坐标轴:,坐标面:,机动目录上页下页返回结束,2.向量的坐标表示,在空间直角坐标系下,设点M,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,的坐标为,机动目录上页下页返回结束,四、利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,机动目录上页下页返回结束,例2.,求解以向量为未知元的线性方程组,解:,23,得,代入得,机动目录上页下页返回结束,五、向量的模、方向角、投影,1.向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,机动目录上页下页返回结束,例5.在z轴上求与两点,等距,解:设该点为,解得,故所求点为,及,思考:,(1)如何求在xoy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?,(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?,离的点.,机动目录上页下页返回结束,提示:,(1)设动点为,利用,得,(2)设动点为,利用,得,且,例6.已知两点,和,解:,求,机动目录上页下页返回结束,2.方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点O,称=AOB(0)为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.,与三坐标轴的夹角,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,机动目录上页下页返回结束,方向余弦的性质:,机动目录上页下页返回结束,例7.已知两点,和,的模、方向余弦和方向角.,解:,计算向量,机动目录上页下页返回结束,
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