资源描述
引例中,流过有向曲面的流体的流量为,称为Q在有向曲面上对z,x的曲面积分;,称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分.,称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分;,3.性质,(1)若,之间无公共内点,则,(2)用表示的反向曲面,则,(3)若有向闭曲面所围成的空间区域V被另一位于V内部的曲面分成了V1，V2，其边界曲面记作1，2，则,三、两类曲面积分的联系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画,四、对坐标的曲面积分的计算法,定理:设光滑曲面,取上侧,是上的连续函数,则,证:,注意到,直角坐标网划分有,若,则有,若,则有,(前正后负),(右正左负),说明:,如果积分曲面取下侧,则,例1.计算,其中是以原点为中心,边长为a的正立方,体的整个表面的外侧.,解:,利用对称性.,原式,的顶部,取上侧,的底部,取下侧,解:把分为上下两部分,思考:下述解法是否正确:,例2.计算曲面积分,其中为球面,外侧在第一和第八卦限部分.,例3.设S是球面,的外侧,计算,解:利用轮换对称性,有,例4.设,是其外法线与z轴正向,夹成的锐角,计算,解:,例5.计算曲面积分,其中,解:利用两类曲面积分的联系,有,原式=,旋转抛物面,介于平面z=0,及z=2之间部分的下侧.,原式=,原式=,课本例7.7.计算曲面积分,其中S为球面在第一卦限的部分与各坐标面所围成立体表面的外侧.,答案：,内容小结,定义:,1.两类曲面积分及其联系,性质:,联系:,思考:,的方向有关,上述联系公式是否矛盾?,两类曲面积分的定义一个与的方向无关,一个与,2.常用计算公式及方法,面积分,第一类(对面积),第二类(对坐标),二重积分,(1)统一积分变量,代入曲面方程(方程不同时分片积分),(2)积分元素投影,第一类：面积投影,第二类：有向投影,(4)确定积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.,转化,当,时，,（上侧取“+”,下侧取“”),类似可考虑在yOz面及zOx面上的二重积分转化公式.,备用题求,取外侧.,解:,注意号,其中,利用轮换对称性,
展开阅读全文