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,*三、二重积分的换元法,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,第十章,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X-型区域,则,若D为Y-型区域,则,一、利用直角坐标计算二重积分,说明:(1)若积分区域既是X-型区域又是Y-型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.,则有,(2)若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域,则,例1.计算,其中D是直线y1,x2,及,yx所围的闭区域.,解法1.将D看作X-型区域,则,解法2.将D看作Y-型区域,则,例2.计算,其中D是抛物线,所围成的闭区域.,解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线,则,例3.计算,其中D是直线,所围成的闭区域.,解:由被积函数可知,因此取D为X-型域:,先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,例4.交换下列积分顺序,解:积分域由两部分组成:,视为Y-型区域,则,10.1.2、设函数f(x,y)在x2+y21上连续，使,成立的充分条件是(A)f(x,y)=f(x,y)f(x,y)=f(x,y)(B)f(x,y)=f(x,y)f(x,y)=f(x,y)(C)f(x,y)=f(x,y)f(x,y)=f(x,y)(D)f(x,y)=f(x,y)f(x,y)=f(x,y),B,10.3.1、设f(x,y)是连续函数，交换二次积分,的积分次序。,10.3.2、设f(x,y)是连续函数，交换二次积分,的积分次序。,原式=,10.3.3、设f(x,y)是连续函数，交换积分,的积分次序。,解：原式=,10.3.4、设f(x,y)为连续函数，交换二次积分,解：原式=,10.3.5、设f(x,y)是连续函数，交换积分,的积分次序。,的积分次序。,解：原式=,10.3.6、计算二次积分,10.3.7、计算二次积分,原式,=9.,=,10.3.8、计算二次积分,10.3.9、计算二次积分,原式,10.3.10、计算二重积分,其中D是以O(0，0)A(1，1)和B(0，1)为顶点的三角形区域。,10.3.11、计算二重积分,其中D：0x1,1y0.,10.3.12、计算二重积分,其中D：3x4,1y2.,10.3.15、计算二重积分,其中D是由曲线xy=1,y=x2与直线x=2所围成的区域。,10.3.16、计算二重积分,其中D：0ysinx,.,10.3.18、计算二重积分,其中D是由y=x2,y=0,x=1所围成的区域。,10.3.21、利用二重积分计算由直线y=x,y=5x及x=1所围成区域的面积。,10.3.22、利用二重积分计算由曲面z=6x2y2,x+y=1,x=0,y=0及z=0所围成的曲项柱体的体积。,10.3.23、利用二重积分计算由平面,(其中a,b,c0)x=0,y=0,z=0所围立体的体积。,10.3.30、求在x0部分由曲线y=cosx及y=cos2x所围,第一块封闭图形的面积,二、利用极坐标计算二重积分,设,则,特别,对,此时若f1则可求得D的面积,思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试,答:,问的变化范围是什么?,(1),(2),例6.计算,其中,解:在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,注:,利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上,故式成立.,又,例7.求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解:设,由对称性可知,10.1.3、设域D：x2+y21,f是域D上的连续函数，则,A,10.2.2、设积分区域D的面积为S,为D中点的极坐标，则,_.,S,10.3.13、利用极坐标计算二次积分,10.3.14、利用极坐标计算二重积分,其中D：a2x2+y2b2(ba0).,10.3.19、计算二重积分,10.3.20、计算二重积分,其中,其中,
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