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第一节向量的内积,一内积的定义和性质,三正交向量组,二向量的长度与夹角,四正交矩阵与正交变换,第六章相似矩阵和二次型,一、内积的定义与性质,1、定义,设维实向量,称实数,为向量与的内积，记作,注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有,、性质,（1）对称性：,（2）线性性：,（3）正定性：,、长度的概念,当,时,二、向量的长度与夹角,令,为维向量,的长度（模或范数）.,特别,长度为的向量称为单位向量.,（1）正定性：,（2）齐次性：,（3）三角不等式：,、性质,（4）柯西施瓦兹（CauchySchwarz）不等式:,当且仅当与的线性相关时，等号成立.,由非零向量得到单位向量,称为把单位化或标准化.,的过程,、夹角,设与为维空间的两个非零向量，与的夹,角的余弦为,因此与的夹角为,例,解,三、正交向量组,1、正交,2、正交组,若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则,这个向量组称为正交向量组，简称正交组.,3、标准正交组,由单位向量组成的正交组称为标准正交组.,夹角900,4、正交基,5、标准正交基,由正交向量组构成的空间V的基,由标准正交向量组构成的空间V的基,定理,4、性质,正交向量组必为线性无关组.,证明见P112,例题：证明：r个n维向量构成的向量组，若rn则该向量组一定不是正交组,思路：r个n维向量组当rn时，必然线性相关,已知三维向量空间中，,例2,正交，,解,设,则,即,四、正交矩阵和正交变换,1、定义,如果阶方阵满足：,则称为正交矩阵.,则,可表示为,若按列分块表示为,亦即,结论：正交阵判定条件是列向量是标准正交组，即两两正交的单位向量。,2、正交矩阵判定条件,为方阵，且列向量组是标准正交组,三大条件：1）方阵2）单位向量3）正交（行列均可）EATAAAT,例题：证明下述性质（定义法）1）若A为正交阵，则A1和AT也是正交阵，且det（aij）1或12）若A，B为正交阵，则AB也为正交阵,3.定义的应用,3、正交变换,若为正交矩阵，则=线性变换称为正交变换.,设=为正交变换，则有,经正交变换后向量的长度保持不变,内积保持不变,注,从而夹角保持不变.,请证明旋转变换是正交变换P32问：投影变换是正交变换吗？,4、施密特（Schmidt）正交化法（P114，自学）,设,是向量空间的一个基，要求向量空,间的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单,位向量,，使,与,等价，,此问题称为把,这组基标准正交化.,1）正交化,令,就得到的一个标准正交向量组.,的一组标准正交基.,如果,上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.,2）标准化,令,是的一组基，则,就是,与,都是等价的.,可以证明：,第二节方阵的特征值与特征向量,一特征值与特征向量,三应用举例,二特征值和特征向量的性质,四小结,一、特征值与特征向量的概念,定义,若,则称为的特征值，,称为的特征向量,（）,注,并不一定唯一；,阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组,特征值问题只针对与方阵，且特征向量不能为零,有非零解的值，即满足,的都是方阵的特征值,例：求距阵的特征值和特征向量（P118例6，7）,定义,这是一个为变量的一元次多项式,为的特征多项式,定义,为的特征方程（几元几次方程？）,定理,设阶方阵的特征值为,则,证明,当是的特征值时，的特征多项,式可分解为,令,得,即,必须牢记,（2）略,定义,方阵的主对角线上的元素之和称为方阵的迹.,记为,二、特征值的性质,推论,阶方阵可逆的个特征值全不为零.,若数为可逆阵的的特征值，,性质5,设阶方阵的特征值为,则,根据这两条性质，可以验证所求得的结果是否正确.,三、应用举例（定义+性质）,、若为可逆阵的特征值，则,的一个特征值为（）,、证阶方阵的满足，则的特征值为,或,、三阶方阵的三个特征值为、，则,（）,（幂等阵AmA）,2解：设x是A的一个特征向量，则A2xAx03解：思路令B2E3A2,求出B的全部特征值即可。书上例题9自己看看。P122,四、特征向量的性质,定理,互异特征值对应的特征向量线性无关。,证明：见书P120另证：,特征向量的性质的证明,证,设存在使,是方阵的特征值，,依次是与之对应的特征向量，即有,因为,所以,即,即,(1),(2),(3),类推下去,有,(m),把以上个等式合写成矩阵等式，得,上式左端的第二个矩阵的行列式是范德蒙德行列式，,当互不相等时，该行列式不等于0，从而该矩阵可逆.于是有,特征向量的性质的证明,即,又,因此必有,所以向量组线性无关.,证毕,特征向量的性质的证明,一、定义,定义,设、都是阶矩阵，若有可逆矩阵，,使得,则称是的相似矩阵，或者说矩阵,与相似,称为对进行相似变换，,对进行运算,可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵,记作：,第三节矩阵相似对角化,请回忆距阵等价的概念，符号描述P59思考等价和相似的区别,练习：1。证明，若A相似B，则det（A）det（B）2。若A相似B，则A35A2A相似于B35B2B3。结论：若A相似B，则A的多项式相似于B的同一多项式,4。若阶矩阵与相似，则与有相同的特征多项式，从而与有相同的特征值,推论,若阶矩阵与对角矩阵,相似，,定理,若阶矩阵与相似，则与有相同的特征多项式，从而与有相同的特征值,若能寻得相似变换矩阵使,对阶方阵，,称之为把方阵对角化,三、方阵对角化,定理的推论说明，如果阶矩阵与对角矩阵相,似，,则的主对角线上的元素就是的全部特征值,设存在可逆，,使得,有,于是有,因为可逆，R（P）n,关的特征向量。,实现,即与对角矩阵相似,对角化的目标：寻找n个线性无关的特征向量，构成P,定理,如果阶矩阵有个互异特征值，则其对应的特征向量线性无关，此时的A必可对角化,注意：这是充分条件而非必要条件，要想判断A能否对角化只能先求特征值，再求特征向量，然后看特征向量是否线性相关,结论,并非所有矩阵都可以对角化（相似对角化）即：对称矩阵一定可以对角化（有定理）可以对角化的充要条件是：存在n个线性无关的特征向量p1，pn，且P（p1,p2，.，pn）可以对角化的一个必要条件是：n阶矩阵A有n个互异特征值练习：请问P120的例5，6，7中矩阵哪些可以对角化？例题：P125，例11,定理对称矩阵的特征值为实数.,说明：矩阵可以对角化的理论比较复杂，本节要求掌握对称阵对角化步骤即可,一、对称矩阵的性质,定理对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交.,定理若阶对称阵的任重特征值对应的线性,无关的特征向量恰有个,定理若为阶对称阵，则必有正交矩阵，使得,第四节对称矩阵的对角化,需要记住：对称矩阵必可相似对角化，且P为正交阵,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：,将非重根对应的特征向量单位化；,3.,将重特征值对应的特征向量单位正交化;,4.,2.,1.,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法（掌握）,将所有单位化后的特征向量组成P，注意与特征值的对应关系。,5.,三、实例分析,解,例12,例：设对称矩阵A，已知A有二重特征值，122,求：1）x和另一个特征值3；（回忆特征值的两条性质）2）A的所有特征向量；3）求正交矩阵P，使得A正交化,解：1）,2）,3）正交化矩阵P,建议验证,作业：P138，14，16（1），17,第六节二次型,一元二次型的概念,二二次型的表示方法,三二次型的矩阵及秩,四化二次型为标准形,五小结,矩阵对角化的简单应用,作业9：P1342（1），6（1），20,一、元二次型,1、定义,的二次齐次多项式,含有个变量,称为二次型,或记为,注,当常数项为实数时，称为实二次型；,当常数项为复数时，称为复二次型,二、二次型的矩阵表示,定义,只含有平方项的二次型,称为二次型的标准形,定义,特别地，若系数只在1，1，0取值，即,为二次型的规范形,则二次型,特别注意：为对称矩阵.,令,任一二次型,三、二次型和矩阵A的关系,对称矩阵,任一对称矩阵,二次型,一一对应,称为对称矩阵的二次型；,称为二次型的矩阵；,对称矩阵的秩称为二次型的秩,练习写出下列二次型的对称矩阵,3）复数域上的元二次型,例1）实数域上的元二次型,2）实数域上的元二次型,设,四、化二次型为标准形,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形,记,记作,将其代入,有,若|C|0，则称为非退化线性变换,？f如何才能变成标准二次型，对CTAC有何要求？,目的：寻找C使得CTAC变成对角阵,定义,设,为阶方阵，若存在阶可逆阵C，使得,则称合同于,与相似、等价比较一下,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,例1已知二次型,用正交变换把二次型化为标准形，并写出相应的正交矩阵.,解析：此题是一道典型例题.目的是熟悉用正交变换化二次型为标准形的“标准程序”.,写出二次型对应的矩阵,二次型对应的矩阵为,求的特征值,由，求得的特征值为,例1解答,求的两两正交的单位特征向量,例1解答,对应，解方程，由,得基础解系为,将其单位化，得,例1解答,对应，解方程，由,得基础解系为,将其单位化，得,例1解答,对应，解方程，由,得基础解系为,将其单位化，得,例1解答,写出正交矩阵和二次型的标准形,令矩阵,则为正交阵，于是，经正交变换,原二次型化为标准形,例2已知二次型,的秩为2.,求参数以及此二次型对应矩阵的特征值；,指出表示何种曲面.,解,二次型的矩阵,因为的秩为2，,所以的秩也为2，因而,例2解答,当时，的特征多项式为,于是，的特征值为,特征值互异，必存在正交变换,其中为正交矩阵(不必具体求出)，使二次型,于是，曲面,这表示准线是平面上椭圆、母线平行于轴的椭圆柱面.,在新变量下称为标准形,附录：前面的部分证明,特征值的性质的证明,证,因为是的个特征向量，则有,即,令，即得,另一方面，根据行列式的定义知，上述行列式的展开式中，只有对角元之积含有,这些项中不含,比较两端的的系数，可得,即,证毕,特征值的性质的证明,特征值的性质的证明,因为是的特征值，,证,所以存在非零向量使,又由知，,可逆，且，所以,这表明是矩阵的特征向量.,证毕,特征值的性质的证明,证,因为是的特征值，,所以存在非零向量使,用左乘上式两端得,这表明是矩阵的特征向量.,类似地，可以证是矩阵的特征向量.,证毕,特征值的性质的证明,证,因为是的特征值，,所以存在非零向量使,又因为，所以,这表明是矩阵的特征向量.,证毕,特征值的性质的证明,证,因为,所以而,有非零解,因此存在非零向量，使,这表明0是的特征值.,证毕,特征值的性质的证明,证,根据特征值满足的条件：是特征方程的根，所以要证与的特征值相同，,只需证它们的特征方程相同，也即只需证它们的特征多项式相同.,因为,所以与的特征多项式相同，从而与的特征值相同.,证毕,特征向量的性质的证明,证,设存在使,是方阵的特征值，,依次是与之对应的特征向量，即有,因为,所以,即,即,(1),(2),(3),类推下去,有,(m),把以上个等式合写成矩阵等式，得,上式左端的第二个矩阵的行列式是范德蒙德行列式，,当互不相等时，该行列式不等于0，从而该矩阵可逆.于是有,特征向量的性质的证明,即,又,因此必有,所以向量组线性无关.,证毕,特征向量的性质的证明,
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