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,第四节,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,对面积的曲面积分,第十一章,一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例:设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想,采用,可得,求质,“大化小,常代变,近似和,求极限”,的方法,量M.,其中,表示n小块曲面的直径的,(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,最大值,定义:,设为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中f(x,y,z)叫做被积,据此定义,曲面形构件的质量为,曲面面积为,f(x,y,z)是定义在上的一,个有界函数,或第一类曲面积分.,若对做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积,函数,叫做积分曲面.,则对面积的曲面积分存在.,对积分域的可加性.,则有,线性性质.,在光滑曲面上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.,积分的存在性.,若是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,定理:设有光滑曲面,f(x,y,z)在上连续,存在,且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,证明:由定义知,而,(光滑),1)这就是把对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式,简述为：一代、二换、三投影,代：将曲面的方程代入被积函数,换：换面积元,投影：将曲面投影到坐标面得投影区域,说明:,2)如果曲面方程为,公式如何写？,选学不要求3)若曲面为参数方程,公式又当如何写？,只要求出在参数意义下dS,的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的,例1.计算曲面积分,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解:,思考:,若是球面,被平行平面z=h截,出的上下两部分,则,例2.计算,其中是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解:设,上的部分,则,与,原式=,分别表示在平面,例3.,设,计算,解:锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在xOy面上的,投影域为,则,思考:若例3中被积函数改为,计算结果如何?,例4.求半径为R的均匀半球壳的重心.,解:设的方程为,利用对称性可知重心的坐标,而,用球面坐标,思考题:例3是否可用球面坐标计算?,例5.计算,解:取球面坐标系,则,例6.计算,其中是球面,利用对称性可知,解:显然球心为,半径为,利用重心公式,例7.计算,其中是介于平面,之间的圆柱面,分析:若将曲面分为前后(或左右),则,解:取曲面面积元素,两片,则计算较繁.,例8.求椭圆柱面,位于xOy面上方及平面,z=y下方那部分柱面的侧面积S.,解:,取,例9.,设有一颗地球同步轨道通讯卫星,距地面高度,h=36000km,运行的角速度与地球自转角速度相同,试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.,(地球半径R=6400km),解:,建立坐标系如图,记覆盖曲面的,半顶角为,利用球面坐标系,则,卫星覆盖面积为,故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为,由以上结果可知,卫星覆盖了地球,以上的面积,故使用三颗相隔,角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球,全表面.,说明:此题也可用二重积分求A.,内容小结,1.定义:,2.计算:设,则,(曲面的其他两种情况类似),注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、质心公式,简化计算的技巧.,思考与练习,P158题1；3；4(1);7,解答提示:,P158题1.,P158题3.,设,则,P184题2,P158题4(1).,在xOy面上的投影域为,这是的面积!,P158题7.,如图所示,有,P184题2.,限中的部分,则有().,(2000考研),作业,P1584(3);5(2);6(1),(3),(4);8,第五节,备用题1.已知曲面壳,求此曲面壳在平面z=1以上部分的,的面密度,质量M.,解:在xOy面上的投影为,故,2.设是四面体,面,计算,解:在四面体的四个面上,同上,
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